第四章功与能教案

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1、1第四章 功与能（讨论力的空间累积,动能定理、势能定理、功能原理和机械能守恒定律）教学要求：*掌握功概念,计算直线运动及简单曲线运动中变力功。*掌握保守力作功及势能概念，计算势能及由势能求保守力。*掌握质点动能定理和质点系动能定理，解决质点在平面内运动时的简单力学问题。*掌握机械能守恒定律，分析简单系统在平面力学问题。2*综合运用有关动量、角动量及功能的各定理、定律，解决质点在平面内运动时的简单力学问题。教学内容：4-1 功4-2 动能定理4-3 势能4-4 机械能守恒定律（学时：3 学时）教学重点：* 变力的功的计算，功与能量的区别和关系。* 任意保守力场势能的计算。* 动能定理、功能原理及

2、机械能守恒及其应用.3* 有关动量、角动量及功能的定理、定律的综 合运用。作业：4-01） ；4-05） ；4-08） ；4-10） ；4-13） ；4_15)；4_17)；4_20)；4_21)；4_22)。 -4-1 功一. 功 功的定义： 力 F 所作的功等于力 F与受力点位移 r 的标积。1. 恒力对直线运动物体作功 4 m F r rFA（4-1）rcosF讨论：（1） 功是标量，有正负之分。00 力对物体作正功。=90 A=0 力对物体不作功。90180 A0 力对物体作负功。（2）关于受力点位移若受力物体可视为质点，则受力点位移即质点位移。5若研究对象不是质点，有时受力点位移与物

3、体的位移不一致，这时受力点位移指将受力部位视为质点时该质点的位移。受力点 A 移动 2S,才能使物体位移 S，计算功时，取那个位移呢？应取受力点 A 的位移。用力 F 拉 B 端，弹簧上各部分的位移是不同的。B 点位移最大，A点位移最小为零，计算功时，取那点位移呢？应取受力点 B 的 6位移。（3）功是相对量。因为位移的大小与参考系的选择有关，因此功的大小也与参考系的选择有关。例如：匀速运动的车上有一物体 m，车上一人用恒力 F 推物体，物体相对车位移了 S，问人对物体做了多少功。功为 F 与受力点位移 r 的标积，而 r 在不同的参考系中是不同的。以车为参考系：A 1=FS7以地为参考系：A

4、2=F（S+ut）可见功的计算与参考系有关。2. 变力对曲线运动物体作功 a dr F l b * 元功：物体在某一位置作一元位移 dr ，力作的元功为： cosrrFdFddA（4-2）* 力 F 的功：物体由初始位置 a 经路径L 到 b 过程中，力作的功为：8 baddAA rF（4-3 ） （力 F 沿路经 L 的线积分）3功的几何表示变力 F（ 随位置变化的函数关系）：)(xF则：力 F 的功为21xxddAA rF曲线与横轴包围的面积阴影部分。9O F(x) x1 x2 x 二 合力的功多个力同时作用在质点上，合力为：),2,1( niii FF合力的功为：10 iiibaibai

5、iba AdddA )( )(rFrFrF合力的功等于各分力做的功的代数和。三 功率力的功率定义：力在单位时间做的功。设在 dt 时间内，力 F 作的功为 dA，则功率为：dtAP由于 及rFA，代入上式，为：vrdt11vFrFdtP功率为力与质点速度的点积。* 作功公式：21ttPdtA* 国际单位制：功的量纲为 ML2T2，单位为 J(焦耳)，功率的量纲为 ML2T-1，单位为 W(瓦)。四 一对力的功一对力特指两个物体间的作用力和反作用力。一对力的功指在一个过程中一对力作功的代数和。一对力的元功之和：122121 1221 1221 22111221)()(rFrrF rFrFddd

6、ddAAdA （4-4）dr12是质点 m2对质点 m1的相对元位移。结论：（1）一对力的元功等于其中13一质点受力与该质点对另一质点相对元位移的点积。（2）一对力的功仅决定于力和质点间的相对位移，由于相对位移与参考系的选择没有关系，因此一对力作的总功与参考系的选 择无关。 （3）一对力做的总功：系统中的二质点由初态时的相对位置 a 变化到未态时相对位置 b，一对力作的总功为：（4-5）2121rFddAAba-例 4.1 一绳长为 l，小球质量为m 的单摆竖直悬挂，14在水平力 F 的作用下，小球由静止极其缓慢地移动，直至绳与竖直方向的夹角为 ，求：力 F 做的功。 l Fr dr FGm

7、解： 因小球极其缓慢地移动，近似认为加速度为零，所受合力为：水平力 F、重力G、拉力 FT, 矢量和 F + G + FT = 0 由于合力的切向分量：150sincos mgF可得：tanmgF力 F 做功)cos1(sin costancos0 0 mgldmgl ldmgdFdA rrF例 4.2 一对质量分别为 m1 和 m2 的质点，彼此间存在万有引力作用。设 m1 固定不动， m2 在引力作用下由 a 经某路径 l 运动到 b。已知 m2 在 a 点和 b 点时距 m116分别为 ra 和 rb，求：万有引力的功。 m1 ra aF r m2 dr dr b l rb 解 作例 4

8、.2 图，取 m1为坐标原点，某时刻 m2对 m1的位矢为 r，引力 F与 r 方向相反。当 m2在引力作用下完成元位移 dr时，引力做的元功为：17cosdrmGddA rrF 21由图可见： )cos(cos rr dd=dr（此处 dr 为位矢大小的增量）故上式可以写为drrmGdA21总功为： barr rrmGdrrmGdAA ba 112121注意：万有引力功只与质点的初态末态18的相对位置 、 有关，arbr与路径 l 没有关系“保守力”-4-2 动能定理一 质点的动能定理设一质点在变力作用下，沿一条曲线路径运动，在 a 点、b 点速率分别为 V1和 V2。当质 点 在 某 一

9、位 置 移 动 一 元位 移 时 ， 力 F 对 质 点 所 作 的 元 功 为 ：19rrF dFddA cos tFFcos力在切线方向的分量 根据 dtvmmaFtt 20以及 代入dtvr上式，则：)21(2mvdmvd dvtdFddA t rrrF动能定义： 221mvEk上式为：(4-6)kdEddArF 质点动能定理(微分形式)21表明：力对质点做的元功等于质点动能的微增量 。kdE考虑质点从 a 经路径 L 运动到b，相应的动能变化，将(4-6)式积分：kakbEEkba EEddA kbka rF(4-7) 质点动能定理（积分形式）表明：合外力对质点做的功等于质点动能的增量

10、。讨论：（1） （4-7）式中，各量均系对同一质点，相对同一参考系而言。（2）动能定理是与一段做功的过程相联系，表明了合功与初、未状态动能的变化关系，不涉及中间22各个瞬时的运动状态。（3）功和动能的概念不能混淆质点运动状态一但确定，动能就惟一确定了，动能是运动状态的函数，是反映质点运动状态的物理量。功是和质点受力并经历位移这个过程相联系的，过程意味着状态变化，所以功不是描写状态的物理量，它是过程的函数。二 质点系的动能定理质点系的总动能定义为各质点动能之和 221iiiikiK vmEE对系统中第 i 个质点，应用质点的动能定理2312likiiiEEAA 内外对系统中所有质点求和 ikii

11、kiiiii EEAA 12内外即： 12kkEEAA 内外(4-8) 质点系的动能定理所有外力对质点系做的功与内力做功之和等于质点系动能的增量。讨论：（1） 质点的动能因外力做功而改变，又可内力做功而改变，不同于质点系的动量24定理和质点系的角动量定理。（2） 质点系的动能定理，实际上概括了质点的动能定理。（3） 当 A 内 +A 外 = 0 时，Ek2=Ek1。表明，在外力和内力对质点系所做的合功等于零时，质点系的动能守恒。-例 4.3 一链条长为 l，质量 m，放在光滑的水平桌面上，链条一端下垂，长度 a。假设链条在重力作用下由静止开始下滑，求：链条全部离开桌面时25的速度。O x x

12、解 解：重力做功只体现在悬挂的一段链条上，设某时刻悬挂着的一段链条长为 x，所受重力iiW gxlmgx经过位移元 dx，重力的元功为：26gxdlmddAxW当悬挂长度由 a 变为 l(离开桌面)时，重力的功为： la alglmgxdlmdAA )(222根据动能定理，外力的功等于链条动能的增量。021)(2 222 mvallmgA得27)( 22allgv 例 4.4 质量为 mB 的木板静止在光滑桌面上，质量为 mA 的物体放在木板B 的一端，现给物体 A 一初始速度使其在 B 板上滑动（图0v(a)） ，设 A、 B 之间的摩擦因数为 ， ，BAmm并设 A 滑到 B 的另一端时A

13、、 B 恰好具有相同的速度，求： B 板的长度以及 B 板走过的距离 ( A 可视为质点)。28(b) (a) A A B B 解 解： A 向右滑动时， B 给 A 一向左的摩擦力， A 给 B 一向右的摩擦力，摩擦力的大小为 ，将gmAA、 B 视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设 A 滑到 B 右端时二者共同速度为v。29vmmvm BAA )(0 解得20vv再对 A、 B 系统用质点系动能定理（摩擦力功是一对力的功） ，设 B 不动， A 相对 B 移动 L，摩擦力的功为 ，gLm代入质点系动能定理2021)(21 vmvmmgLm ABAA 可得：30gvL420再单独对 B 板应用质点动能定理，此时 B 板受的摩擦力做正功 xgmA0212 vmxgmBA得： gvx820-4-3 31势能一 保守力和非保守力保守力的定义 做功与做功具体路径无关，只与系统始末状态的相对位置有关。沿任一闭合路径做的功等于零保守力。0lFds保 守（如：重力、弹簧力、万有引力）非保守力做功与路径有关的力。如：摩擦力等。二 势能1重力的功：32x O