第四章从经典物理学到量子力学

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1、第四章 从经典物理学到量子力学4 - 1 从经典物理学到前期量子 论到 19 世纪末， 经典物理学已 经建立了比较完整的理论体系。力学 分析力学，存在海王星的预言及其被证实电磁学 麦克氢原子光谱斯韦方程组， 预言了电 磁波的存在热力学+统计物理学量子力学的研究对象：微观粒子。量子理论的发展轨迹：能量子：黑体辐射光量子：光电效应固体比热氢原子光谱614一 黑体辐射 普朗克的能量子假说( 1 ) 热辐射的基本概念热辐射：一切物体的分子热运动将导致物体向外不断地发射电磁波。这种辐射与温度有关。温度越高，发射的能量越大，发射的电磁波的波长越短。平衡热辐射或平衡辐射:如果物体 辐射出去的能量恰好等于在同

2、一时间内所吸收的能量，则辐射 过程达到了平衡。单色辐射出射度(简称单色 辐出度，用表示)：在 单位时间内从物体表面 单位TM面积上所辐射出来的， 单位波 长范围内的电磁波能量，即， (4. 1)d)()(Twhere dM ( T ):在单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出来的，波 长在 到615+d 范围内的电磁波能量。辐射出射度(简称辐出度，在单位时间内从物体表面单位面积上辐射出来的各种波长电磁波能量的总和). (4. 2)0d)()(d)( TMT单色吸收比 和单色反射比 ：在),(),(T温度为 T 时，物体吸收和反射波长在 到 + d 范围内的电磁波能量，与相应波长的入射电磁波能量

3、之比，分别 称为该物体的单色吸收比 和单色反射比 。对于不),(T),(T透明的物体，有. (4. 3)1),(),( 2 ) 基尔霍夫定律和黑体基尔霍夫辐射定律: 对每一个物体来说，616单色辐出度与单色吸收比的比值 ，),(/TM是一个与物体性质无关(而只与温度和 辐射波长有关)的普适函数。即, (4. 4)(),(),(21TIMT引出黑体的概念,?I推论：如果一个物体是良好的吸收体，必定也是一个良好的辐射体。绝对黑体（简称黑体）：如果物体在任何温度下，对于任何波 长的入射 辐射能的吸收比都等于 1，即 = 1。黑体既是最好的吸收体，又是最好的辐),(0T射体。对黑体，基尔 霍夫辐射定律

4、（ 用 是黑体的单)(0TM色辐出度）. (4. 5)(),(TM与 ),(),(,21TI比较可见617,)()0TIM黑体单色辐出度 是研究热辐射的一个(0中心问题。自然界中的物体都不是绝对黑体。即使物体表面熏了煤烟，最多也只能吸收 98 %左右的入射电磁波能量。绝对黑体的模型：用不透明材料(例如金属 )制成一个空心容器，器壁上开一个很小的孔 O.如果小孔 O 的面积远小于容器内表面的面积，那么反射次数N 就会很大，这意味着射入空腔小孔 O 的电磁波能量几乎全部被吸收，吸收比近似 为 1.空腔中的电磁辐射常称为黑体辐射。在常温下所有物体的辐射都很弱，由于黑色物体或空腔小孔的反射又极少，故看

5、起来它们很暗；然而在高温下，由于黑体的辐射最强 ，故看起来它 们最明亮。( 3 ) 黑体辐射的基本规律斯特藩玻耳兹曼定律：黑体的辐射出射度与黑体绝对温度的四次方成正比（来自实验和理论）图 4 - 1 带有小孔的空腔618,40)(TM(4. 6)斯特藩常量 = 5. 670 51 108 W m2 K4. 维恩位移律（从热力学理论导出，黑体辐 射光谱中辐射最强的波长 m与黑体温度 T 之间满足关系）, bm(4. 7)常量为b = 2. 897 756 103 m K . 619图 19 2 表示在一定的温度下，黑体的单色辐出度 按波长分布的实验曲)(0TM线：黑体的辐出度 M0( T )表示

6、每一条曲线下的总面积；随着温度的升高，曲线下面积则以 T 的四次方在增大；随着温度的升高，每条曲线的峰值波长 m 随 T1 成比例地减小，即温度越高，单色辐出度的最大值越向短波方向移动。图 4- 2 黑体单色辐出度 的实验 曲 线)(620( 4 ) 经典物理学所遇到的困 难如何从理论上导出黑体单色辐出度的可与实验曲线相符的数学表达式？ 0()MT1 ) 维恩公式：维恩从热力学普遍理论的考虑以及实验数据的分析，由经典统计物理学 导出的半经验公式：. (4. 8)TcM2e)(51其中 c1 和 c2 是两个需要用 实验来确定的经验参量。在长波波段维恩公式与实验曲线有明显的偏离（如图 4- 3

7、所示）。6212 ) 瑞利金斯公式：瑞利和金斯根据经典电动力学和统计物理学理论，得出了一个黑体 辐射公式图 4 - 3 黑体辐 射公式与实验曲线622, (4. 402)(TkcM9)其中常量 k = 1.380 6581023 J/K 称为玻耳兹曼常量。瑞利 金斯公式（4. 9)只适用于长波波段；而在紫外区与实验曲线明显不符，其短波极限 M0( T ) ，这就是物理学历 史上所谓的“紫外灾难”。( 5 ) 普朗克的能量子假说普朗克把代表短波方向的维恩公式和代表长波方向的实验结果综合在一起,得到了一个经验公式, (4. 1e)(/5102TcM10)称为普朗克黑体辐射公式。一方面由于普朗克公式

8、与实验的惊人符合，另一方面由于公式十分 简单，人 们相信这里必定蕴藏着一个非常重要但尚未被人们揭示出来的科学原理。普朗克假定：对于一定频率 的电磁辐射，物体只能以 为单位发射或吸收它，其中 hh是一个普适常量。623换言之，物体 发射或吸收电 磁辐射只能以“量子”方式进行，每个能量子的能量为, (4. h11)其中 h 称为普朗克常量，1986 年推荐值346.207510Js普朗克公式(4. 10)中的第一辐射常量 c1 和第二辐射常量 c2为：, (4. 2161 mW0974.3h12). (4. K81.0/2kc13)经典物理学完全不容许这种能量不连续的概念。二 光电效应 爱因斯坦的

9、光量子论624( 1 ) 光电效应的实验规律金属及其化合物在电磁辐射照射下发射电子的现象研究光电效应的一种实验装置：。在光电 管的阳极 A 和阴极 K 之间加上直流电压 U，当用单色光照射阴极K 时，阴极上就会有光电子逸出，它们将在加速电场的作用下飞向阳极 A 而形成电流 I，称为光电流。 （图中 A、K应调换）实验规律：1 ) 饱和光电 流 Is 与入射光强成正比。图 4 - 5 ( a )所示的伏安特性曲线表明，图 4 - 4 光电效应的实验装置625光电流 I 随正向 电压 U 的增大而增大，并逐渐趋于其饱和值 Is；而且，饱和电流 Is值的大小与入射光强成正比。即：单位时间内从金属表面

10、逸出的光电子数目与入射光强成正比。2 ) 光电子的最大初动能随入射光频率的增加而增加，与入射光强 无关。光电子的最图 4 - 5 光电效 应的实验结果( 1 )626大初动能随入射光频率的增加而线性地增加。3 ) 对于每一种金属，只有当入射光频率大于一定的红限频率 时，才会产生光电0效应。表 4 - 1 金属的逸出功和红限金属 逸出功 A / eV截止频率和波长/ (1014 Hz) 0 / nm 0波段铯 Cs 1. 94 4. 69 639 红铷 Rb 2. 13 5. 15 582 黄钾 K 2. 25 5. 44 551 绿钠 Na 2. 29 5. 53 541 绿钙 Ca 3. 2

11、0 7. 73 387 近紫外铍 Be 3. 90 9. 40 319 近紫外图 4 - 6 光电效应的实验结果( 2 )627汞 Hg 4. 53 10. 95 273 远紫外金 Au 4. 80 11. 60 258 远紫外4 ) 光电效应 是瞬时发生的。实验发现，只要入射光频率 ，无 论光0多微弱，从光照射阴极到光电子逸出这段时间不超过 109 s.( 2 ) 经典物理学所遇到的困 难根据经典电磁理论1) 光波的能量只与光的强度或振幅有关，一定强度的光 经一定时间 的照射之后，电子都可以具有足够的能量而逸出金属，与频率无关，更不存在截止频率。2) 光波的能量是分布在波面上的，电子积累能量

12、需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生。628( 3 ) 爱因斯坦的光量子论辐射场由光量子组成.每一个光量子的能量 E 与辐射频率 的关系, hE(4. 14) 其中 h 是普朗克常量。光量子的动量 p 与辐射波长 ( = c / )的关系. /hpEc(4. 15)解释光电效应:当光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即( 瞬时性) 被金属中的自由 电子吸收。只有当入射光的频率足够高，以致每个光量子的能量足够大时，629电子才有可能克服逸出功 A 而逸出金属表面。所逸出的电子的最大初 动能. hum2ax1(4 . 16)由此可见，当 时，电子的能量不足h/0A以克服金属表面的吸引力而从金属

13、中逸出，因而不发生光电效应。光 电 子的最大初动能只依赖于照射光的频率，而不依赖于照射光的强度。照射光的强度取决于 单位时间内通过垂直于光传播方向的单位面积的光子数，它只影响饱和光电流的大小。( 4 ) 爱因斯坦关于固体热 容的理论爱因斯坦把能量不连续的概念应用于固体中原子的振动，成功地解释了当温度趋近绝对零度时固体热容趋于零的现象。( 5 ) 康普顿散射630波长改变的散射：X 射线经石墨、石蜡等物质散射后， 发现在散射谱线中除了波长与原射线相同的成分外， 还有一些波长较长的成分，两者差 值的大小随着散射角的大小改变。X 射线的波长范围310 nm按照经典电磁理论，原子的电偶极振子作受迫振动

14、时，散射光波 长 是不会改变的。图 4- 7 康普顿散射实验631康普顿散射由 X 射线的光量子与静止的电子之间的弹性碰撞产生。碰撞过程中能量、动量守恒，由于 反冲， 电子 带走了一部分能量与动量，因而散射出去的光量子的能量与动量都相应减小，即 X 射 线频率变小而波长变长。在碰撞前为静止、自由电子。按照动量守恒定律，光量子与电子的碰撞只能发生在一个平面内。碰撞过程中的能量与 动量守恒关系：.220cmhch(4. 17).uec+0(4. 18)这里已经假定了被散射的是整个光量子。利用余弦定理，式(4. 18)可改写为图 4 - 8 光子与静止电子碰撞632,cos)(2)()020hchu

15、m或 .02(4. 19)将式(4. 17)改为,202)(cmhc对该等式两边取平方后减去式(4. 19) ，可得. )cos1()1(024024 hcum)(20hm(4. 20)利用相对论性质量公式，式(4. 20) 可化为;)cos1()(020hc利用 ，上式成为/,/ )s(0cm, 2ino1CC(4. 21)其中 nm 5830426./0Ccmh(4. 22)为电子的康普顿波长（说明 只有对 XRay or -Ray 才可能作观633察）。结论：散射光波长的改变 与散射物质无关，仅取决于散射角 ；关系式中包含了普朗克常量 h，因此它是 经典物理学无法解 释的。康普顿散射证明了：A、X 射线