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1、5.如何解含有多个绝对值符号的方程题目 解方程（*）|1|31|2|2xxx这是你能解吗？献给数学爱好者一书 p3 的第 14 题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法. 设 ，那么，当 时，121()|(,)nii nfxabcxdnb以 下 同 1xb，它的图象是一条射线；当 时，11()()nni ifd nxb1()nifa，它的图象也是一条射线；当 时， 的图象是折线. 所icxab 1b以，我们只要根据 的值和 在 和 时的情况就可以确定(),2)ifn()fxnx出 = 0 的根.()f若 则 都是 = 0
2、 的根；若 或10,ii1iibx 1()0,()iifbf者 ，则在 中只有一个根；若 ，则在,()ibf 1i中 = 0 无根；若 ，则在 中 = 0 只有一1ixx()iifixfx个根，此根可由公式 表之；对于 和 时根的情111()iiiibf1n况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.” 例 1 见题（*）解 设 ，则()|3|2|2fxxx ()2,(0),ff()4,20.f可见当 时, = 0 无根.x = 2 是 = 0 的一个根. 当 时,()f ()f 1x, 令 , . 当 时， .x4()f故原方程的解是 和 的所有实数.x例 2 方程 的实数解
3、的个数是:|1|1|x(A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多. (上海市 1984 年初中数学竞赛题 )解 设 ,1()|2|2|2|fxxx则 那么不论 和 时有没有根,我们至少知道1(6,0,().2ff都是 = 0 的根, 答案应选择(D).12xfx例 3 解方程 . (初等代数难点释疑一书 p4 的例 4).|2|3|4x解 设 ，则()1f1)0,(2),(3)4.fff当 时， ；当 时， ，令 ，xxx10x得 .5故原方程的解是 和 的所有实数.52x例 4 解方程 .|2|3|28|9xx（华东师大数学教学1984 年第 5 期 p9）解 设 ，则()|4|f(2
4、)4,(3)6,(4).fff可见在 中 = 0 无根. 当 时， ，令 ，得 x ()fx0= 1；当 时， ，令 得 .4x42x0x1故 x = 1 和 是原方程的根.例 5 求 的定义域.()|1|2|Fxx（湖北大学中学数学1986 年高考数学复习资料专辑 p91）解 先求方程 的根.|0设 ，则 .()fx1(),(),(02fff当 时 ；当 时 ；当 时 . 0f1xx)故知 和 都是 = 0 的根.()f从而可知 的定义域为开区间（0，1）.2()|Fx例 6 解方程 （北京师大数学通报1980 年第 10 期 p313x例 7， 高中数学教学八十讲一书 p161 的第 4
5、题）.解 设 ，则()|2|fx()2,()0,(3).fff当 时， ，这时 无根. 当 时，64()0f x， 也无根. ()20fxf故原方程的解是 的所有实数.3例 7 解方程 .|2|71|42|15xx解 设 ，则()63|f x(2)15,f(1)f. 3,5当 时， ；当 时， .2x()1fx2x()15f故原方程没有根.例 8 解方程 .|3|4|2|83|10x解 设 ，则() |f x()f. 可见在 中方程24,10,1,(2,(),(3)16fff2= 0 有一根 即 . 当 时， ，fx2)xx2x()04f=0 无根；当 时， ，令 得 .()3(f01x故原方程的解为 和 .1本文发表于湖南省数学学会主办的湖南数学通讯1986 年第 4 期 p3637，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.
