第7章 层流边界层理论

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1、- 153 -第 7 章 层流边界层理论7.1 大雷诺数下物体绕流的特性我们知道，流动雷诺数是度量惯性力和粘性内摩擦切力的相互关系的准则数，大雷诺数下的运动就意味着惯性力的作用远大于粘性力。 所以早年发展起来的非粘性流体力学理论对解决很多实际问题获得了成功。 但是后来的实验和理论分析均发现，无论雷诺数如何大，壁面附近的流动与非粘性流体的流动都有本质上的差别，而且从数学的观点来看，忽略粘性项的非粘性流体远动方程的解并不能满足粘性流体在壁面上无滑移的边界条件，所以不能应用非粘性流体力学理论来解决贴近物面的区域中流体的运动问题。 1904 年普朗特第一次提出边界层流动的概念。 他认为对于如水和空气等

2、具有普通粘性的流体绕流物体时，粘性的影晌仅限于贴近物面的薄层中，在这一薄层以外，粘性影响可以忽略，应用经典的非拈性流体力学方程来求解这里的流动是可行的。 普朗特把边界上受到粘性影响的这一薄层称之为边界层，并且根据在大雷诺数下边界层非常薄这一前提，对粘性强体运动方程作了简化，得到了后人称之为普朗特方程的边界层微分方程。 过了四年，他的学生布拉修斯首先运用这一方程成功地求解了零压力梯度平板的边界层问题，得到了计算摩擦阻力的公式。 从此，边界层理论正式成为流体力学的新兴分支而迅速地发展起来。 图 7-1 沿薄平板的水流简单的实验就可以证实普朗特的思想。 例如沿薄平板的水流照片(见图 7-1)和直接测

3、量的机翼表面附近的速度分布( 见图 7-2)，即可以看到边界层的存在。 观察图 7-2 示中的流动图景，整个流场可以划分为边界层、尾迹流和外部势流三个区域。 在边界层内，流速由壁面上的零值急速地增加到与自由来流速度同数量级的值。 因此沿物面法线方向的速度梯度很大，即使流体的粘性系数较小表现出来的粘性力也较大。 同时，由于速度梯度很大，使得通过边界层的流体具有相当的涡旋强度，流动是有旋的。 当边界层内的粘性有旋流离开物体流入下游时，在物体后面形成尾迹流。 在尾迹流中，初始阶段还带有一定强度的涡旋，速度梯度也还相当显著，但是由于没有了固体壁面的阻滞作用，不能再产生新的涡旋，随着远离物体，原有的涡旋

4、将逐渐扩散和衰减，速度分布渐趋均匀，直至在远下游处尾迹完全消失。 在边界层和尾迹以外的区域，流动的速度梯度很小，即使粘性系数较大的流体粘性力的影响也很小，可以把它忽略，流动可以看成是非粘性的和无旋的。 - 154 -图 7-2 翼型绕流的流动图景I边界层 II尾迹流III外部势流由此可见，当粘性流体绕流物体时，在边界层和尾迹区域内的流动是粘性流体的有旋流动，在边界层和尾迹以外的流动可视为非粘性流体的无旋流动。 因此问题归结为分别讨论这两种运动，然后把所得的解拼合起来，就可以获得整个流场的解。 边界层和外部势流之间并没有明显的分界线(或面 。 所谓边界层外边界或者说边界层的厚度，即是按一定条件人

5、为规定的。 边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的数值。 雷诺数越大，边界层越薄；反之，随着粘性作用的增长边界层就变厚。 沿着流动方向自物体前缘点开始边界层将逐渐增厚。 边界层流动与管流一样，也可能是层流或湍流。 全部边界层都是层流的，称为层流边界层。 当雷诺数大于临界值时，例如对于平板边界层 Re3x1053xl0 6时，边界层流动将部分转变为湍流，称为混合边界层或湍流边界层。 7.2 边界层的划分与方程边界层可分成二维边界层和三维边界层来研究。 其中二维边界层包括薄边界层和厚边界层。 根据三维边界层流动情况，三维边界层通常分为两类；一类称为边界片，另一类称为边界区或边

6、界条。 7.2.1 边界片典型的边界片是除去翼身结合区和翼尖区的后掠翼边界层，如图 7-3 的非阴影区。 该区的边界层有三个速度分量 uv和 w，展向和流向的长度尺度都为翼的特征长度，而法向长度尺度为边界层厚度，因而展向和流向各流动物理量的梯度同量级。 对于等截面无限长后掠翼，各物理量的展向梯度为零，而展向速度分量0，因而展向动量方程可仿照流向动量方程那样简化。 在直角坐标系中，定常边界片的微分方程为 2200uvwxyzupuxywuvxyzpy(7.2.1)如果物面曲率较大，离心力引起法向压力变化较大上时，必须考虑法向压力梯度。 外边界的压力梯度仍由无粘流理论确定，也可通过试验测定。 -

7、155 -为了正确而有效地求解三维边界片方程，必须正确确定以下几个问题：(1) 根据具体流动情况选择合适的坐标系，使方程尽量简化，便于求解。 有时为了便于数值计算而选用非正交曲线坐标系。 (2) 正确计算外边界流动条件。 为提高精确性，应考虑粘性流动与无粘流动间的相互作用和分离影响。 (3) 正确确定计算域起始条件。 斜向绕流无限长柱体上的流动是边界片的另一典型例子。 如图 7-4 所示，这种流动相当于绕无限长等截面的后掠翼流动，边界层内存在三个速度分量，但各速度分量都不随展向坐标 z变化。 自由流速度分为两个分量 U和 W。 如果物面曲率不大，边界层厚度是物面曲率半径的高阶小量时，边界层曲面

8、坐标系的各拉梅系数都为 1，则边界片方程为 2200euvxyduvxywuvxyp(7.2.2)图 7-3 斜向绕流无限长柱体1-分离线； 2-自由流流线；3-表面极限流线边界条件： 0:0,eeyuvw(7.2.3)显然，方程（7.2.2）中的连续方程和 x向动量方程不包含 ，相当于无后掠时外流速度为 ()eux的二维流动问题，可单独求解。 u和 v与展向自由流分速度 W及边界片中的分速度 无关，这种性质称为“独立性原理” 。由二维方法确定 和 后，再由 z向动量方程求 。 因此， z向动量方程是线性方程，形式上与忽略耗散项的能量方程相同，容易求解。 - 156 -三维边界片也可用动量积分

9、方程求解，由方程(7.2.2)可以导出 x向和 z向动量积分方程。 x向动量积分方程的形式和解法与二维问题相同。 以 ew乘连续方程，再减 z向动量积分方程，沿 y积分得 z向动量积分方程。ew为常数时， z向动量积分方程为 0d1ewyzeux(7.2.4)其中 01dweeu仿照 x向动量积分方程解法，先假设某种单参数或双参数速度分布，然后积分求解。 7.2.2 边界区（边界条）机翼与机身的结合处、翼梢、细长旋成体的尾迹、管流和涡轮机翼片与轮毂的结合处的边界层都是较窄长的三维流动，有三个分速度。 与边界片不同的是 z向和 y向的流动长度尺度都为 ，比流向 x的长度尺度小得多。 根据量级分析

10、，边界区的微分方程只能忽略粘性切应力对 x的导数，对 y和 z的导数必须保留，故定常不可压缩边界区的微分方程为 0zwyvxu222222uuvwxyzpvyzwuvxyz(7.2.5)上式比边界片方程多了 向动量方程、 向和 向的压力梯度和 z向的切应力梯度，因此，解边界区方程更为困难。 有时 y向动量方程中各项的量级很小而被忽略，认为压力沿 y向不变。 对于功角较大的旋转成体边界层，攻角和旋转作用使流动参数的横向变化较大，边界片方程不能反映近壁区的流动特性，必须采用反映横向变化的边界区方程，可压缩流的边界区方程为 0020020000200011cos12cosurvrwxyupuxyrr

11、ywuvuwwryrry (7.2.6)- 157 -式中 0r为旋成体半径； 0/()rdx； 为旋成体子午线当地切线与轴线夹角。 7.3 边界层的基本概念严格说，边界层区域与主流区之间并无明显的分界面，通常以速度达到主流区速度的 99%作为边界层的外边界。 由边界层外边界到物面的垂直距离为边界层名义厚度，简称边界层厚度，用 表示。 与物体的特征长度比起来，一般是比较小的，其数量级可大致如下估计。 图(7-4)所示为平板的平面绕流，来流速度为 v,平板在 z方向的宽度为无穷大，在 x方向的长度为 L。 单位体积流体的惯性在稳定条件下为 ,数量级为 L；单位体积流体粘性力可用 2v来表示，其数

12、量级为 2v。 在边界层内惯性力与粘性力的量级大致相同，则有 lv22由此可得 )(22Rlve则 el1 (7.3.1)图 7-4 平板上边面层厚度从此可知在高雷诺数条件下，边界层远小于被绕流物体的特征长度。 这点与前面实测所给的结果是相符的。 我们还要看到，虽然边界层厚度 表示了粘性影响的主要范围，但在解决实际问题时，经常会遇到困难，往往由于速度的测量或计算的误差使 的数值产生很大的差异，因此还要从其他方面定义一些边界层厚度的特征量。 7.3.1 边界层排挤厚度 *参阅图 7-5。 - 158 -图 7-5 边界层排挤厚度示意图单位时间通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质量流量为

13、0dvy式中 v为边界层外边界主流的速度， 为主流的密度。 由于粘性的影响，实际通过的流体质量流量为0上述两项之差就是因存在粘性而减少的流量的多少，定义一个厚度 *，使其与 v的乘积等于因粘性存在，边界层减少的流量，用公式表示即为 *000d()d(1)vyvvy(7.3.2)如果是不可压缩流动则上式 *0(1)dvy(7.3.3)*称为排挤厚度，也称位移厚度。 所以称排挤厚度是考虑到在流量不变的情况下，边界层减少的流量是由于粘性作用把部分流体排挤到主流区去了；称为位移厚度是考虑到应用理想流体概念计算通道的流量时不能用原来的通道部分的实际几何尺寸，而是考虑边界层由于粘性作用通流能力的减少，即边

14、界要移动一定距离，这样计算通流面积就要比原几何通流面积要减少。 这一边界移动就是位移厚度名称的来源。 这两种名称从不同角度反映了 *的物理实质。 显然 *在实际计算中是一个很有意义的物理量， *的大小直接反映了通流能力损失的多少。 注意，由于边界层外 1/v，则有 (1)d0vy则(7.3.3)又可写成 *0()v(7.3.4)7.3.2 动量损失厚度 *单位时间内通过边界层某一截面的质量为 0dvy若为理想流体，这些质量应具有的动量为 0而由于粘性的存在，这些质量实际具有的动量为 20dvy上面两式之差就是由于边界层粘性而产生的动量损失。 为了描述这一动量损失也定义一个厚度 *，称为动量损失

15、厚度，使 *与边界层外 2v之乘机等于边界层内的动量损失，用公式表示为- 159 -2*20()dvvy则有 *20()d1yv(7.3.5)如为不可压流动 *0()dyv(7.3.6)也可写成 *01 (7.3.7)*在边界层计算中占有重要地位， *直接与动量损失相联系，是计算阻力损失的一个重要参数。 7.3.3 能量损失厚度 *单位时间内通过边界层某截面的流体质量，在理想流体情况下，这些质量具有动能为 201dvy由于粘性存在，这些质量实际具有动能为 301d2vy两者之差为边界层的动能损失，类似上面的讨论，也定义一个厚度 *，称为能量损失厚度，使其与边界层外的 21v乘积等于动能损失，用公式表示为 3*2300dvvyvy则有