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1、- 1 -第一章 波浪理论1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度 为一常数；（2）流体是无粘性的理想流体；（3）自由水面的压力均匀且为常数；（4）水流运动是无旋的；（5）海底水平且不透水；（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计；（7）波浪属于平面运动，即在 xz 水平面内运动。1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。【答】：波浪运动基本方程是 Laplace 方程： 或写作： 。该方程属二02zx02元二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：初始条件：因波浪的自由
2、波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。边界条件：（1）在海底表面，水质点垂直速度应为 0，即 0hzw或写为在 z=-h 处， z（2）在波面 z= 处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件A、动力边界条件 02122 gzxtz由于含有对流惯性项 ，所以该边界条件是非线性的。2B、运动边界条件，在 z= 处 。该边界条件也是非线性的。 0zxt（3）波场上下两端面边界条件 ),(),(cttz其中 c 为波速， x-ct 表示波浪沿 x 正向推进。1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。【答】：微幅波理论的基本方程为： 02定解条件：
3、z=-h 处， 0z- 2 -z=0 处， 02zgtz=0 处， t1),(),(zcxtz求解方法：分离变量法1.4 线性波的势函数为 ，tkxhzkgHsincos2证明上式也可写成 tkisin【证明】： 由弥散方程： 以及波动角频率 和 波数定义: , hgta2kT2Lk2可得： ， 即 khLgTtan2 khLTgcosin由波速 的定义： 故：cckhicos将上式代入波势函数： txzgHin2得： 即证。tkxhzkHcsinsio21.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度 ,tkxhzkTHucossincotwii并绘出相位 =02 时的自由表面处的质点轨迹速度变化
4、曲线以及tkx相位=0, , 和 2 时质点的轨迹速度沿水深的分布.3解：(1)证明: 已知势函数方程 tkxhzkHcsinsio- 3 -则 其中: ,tkxhzkHcxucossino2 TLck2.tkTi同理: tkxhzHczwsinsin2tkTii(2) 自由表面时 z=0，则 ,txhHucos)tan( tkxTHwsin质点轨迹速度变化曲线见图.1kx- t图.1 )tanh(kTHkx-tukx-tw相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深 z 由-h 到 0。 当 =0 时 , 曲线见图.2tkx)(cosh)sin(zkTHuw当 =时 , 曲线见图.3t0)(i
5、n)i(hw当 =时 , 曲线见图.4 tkxcosh)sin(zkTHu0w当 =3时 , 曲线见图.5t0)(in)i(hw当 =时 , 同图.2tkxcosh)sin(zkTHu0w)tah(ksinT-h 0图.2zu-h 0图.3zw -h 0)sinh(kTHta图.4zu-h 0TH图.5zw- 4 -1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数 T 和水深 h 计算波长，波速和波数的程序，并计算 T=9s，h 分别为 25m 和 15m 处的波长和波速。解：该程序用 c+语言编写如下：#include iostream.h#include const double pi=3.14
6、15926,g=9.8;void main( ) double x0,x,L,k,c,h;int i,T;coutT;couth;x0=1.0e-8;x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0);for(i=1;(fabs(x-x0)1.0e-8);i+) x0=x;x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0);L=2*pi*h/x;k=2*pi/L;c=L/T;cout0.5 为深水波故此时质点运动轨迹为一直径 D 为 的圆0kzHe不同 值下的轨迹直径可见下表：0zZ0 -2 -5 -10D 0.723 0.445 0.198【解法 2】：将弥散方程 可写成 k
7、hgtan20tanh2kg编制 Excel 计算表格如下，通过变化波长 L 的值，满足方程=0 的 L 值即为所求波长。周期 T 频率=2PI/T 水深 h 波长 L 波数 k=2PI/L kh tanh（kh） 方程=0？5 1.2566372 20 10 0.6283 12.5664 1.0000 -4.584720 0.3142 6.2832 1.0000 -1.502725 0.2513 5.0265 0.9999 -0.886230 0.2094 4.1888 0.9995 -0.474535 0.1795 3.5904 0.9985 -0.179338 0.1653 3.3069
8、 0.9973 -0.038638.5 0.1632 3.2640 0.9971 -0.017238.91 0.1615 3.2296 0.9969 0.000039 0.1611 3.2221 0.9968 0.0037- 7 -经试算得 L=38.91m，那么，h/L=20/38.91=0.5140.5 为深水波后续计算与解法 1 相同。1.10 在水深为 10m 处，波高 H=1m,周期 T=6s,用线性波理论计算深度 z=-2m、-5m、-10m 处水质点轨迹直径。解：将弥散方程 可写成 khgtan20tanh2kg编制 Excel 计算表格如下，通过变化波长 L 的值，满足方程=0
9、 的 L 值即为所求波长。周期 T 频率=2PI/T 水深 h 波长 L 波数 k=2PI/L kh tanh（ kh） 方程=0？6 1.047197667 10 10 0.6283 6.2832 1.0000 -5.067120 0.3142 3.1416 0.9963 -1.973830 0.2094 2.0944 0.9701 -0.896640 0.1571 1.5708 0.9172 -0.316748 0.1309 1.3090 0.8640 -0.012948.1 0.1306 1.3063 0.8633 -0.009748.2 0.1304 1.3036 0.8626 -0.
10、006548.3 0.1301 1.3009 0.8619 -0.003348.4 0.1298 1.2982 0.8613 -0.000248.5 0.1296 1.2955 0.8606 0.0029经试算得 L=48.4m，那么，h/L=10/48.4=0.2072kh，则上式左边= 80cg浅水时 sinh（2kh）2kh，则上式右边= s2那么，P s=（Ecn） s = scgH281=（Ecn） 0= =02160gT= =38310.55（N/s ）1231.13 在水深为 5m 处, 波高 H=1m,周期 T=8s,试绘出斯托克斯波与线性波的波剖面曲线及近底水质点速度变化曲线
11、并比较之.- 9 -解：由弥散方程： , , T=9s,h=5mkhgtan2T2Lk利用题 1.6 可得 L=53.05 m kh=0. 59 线性波波面方程 )cos(2txH斯托克斯波面方程 )(2cos)(sinhco)(83 tkxkLHtk 图 1 斯托克斯波与线性波波面曲线比较-0.7-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70 1 2 3 4 5 6kx-t 线形波 斯托克斯波线性波近底水质点速度 )cos()sinhtkxTHu斯托克斯波近底水质点速度 )(2cos)(sinh1)(43)cos()sinh142 tkxLHTtkxu 图 2 斯托克斯波与线性波水平质点
12、速度-0.7-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70 1 2 3 4 5 6kx-tu线形波 斯托克斯波由图 1 可看到斯托克斯波与线性波有较大差别，在波峰处斯托克斯波比线性波抬高了，变为尖陡，波谷处斯托克斯波比线性波也抬高了，因而变的平坦，波峰波谷不在对称于静水平面。由图 2 可看到斯托克斯波的速度在一周期内不对称，波峰时水平速度增大而历时变短，波谷时则减小而历时增长。- 10 -1.14 如果二阶斯托克斯波 的附加项（非线性项）的振幅小于线性项的 5%时，可以略去附加项而应用线性波理论，问在深水处应用线性波理论的最大允许波陡是多大？在相对水深 h/L=0.2 处应用线性波理论的最
13、大允许波陡又是多大？解：（1）深水区的二阶斯托克斯波 的附加项（非线性项）为： )(2cos)(4tkxLH由题意知，附加项（非线性项）的振幅小于线性项的 5%，即 )cos(205.)(2cos)(4 tkxHtkxLH根据振幅定义，可知余弦项应为 1，那么上式变为 .)(则在深水处应用线性波理论的最大允许波陡波陡 0318.4205.)(HL（2）在相对水深 h/L=0.2 处，即 h=2L，kh= ，并考虑振幅定义，余弦项4Lh应为 1，那么，附加项（非线性项）的振幅： )(42)(8)(sinco)(8)(sinh2co)(8 33 LHLkLH 线性波理论的振幅： 2csHtkx依题
14、意，有 205.)(4L则在相对水深 h/L=0.2 处应用线性波理论的最大允许波陡 0318.4205.)(H1.15 在水深为 5m 处，H=1m，T=8s，试计算斯托克斯质量输移速度沿水深的分布并计算单位长度波峰线上的质量输移流量。解：计算波长 L， )4.31tanh(97.)514.32tanh(14.3289)tanh(2 LLkgT 利用试算法，计算得 L=53.083m，因 =2 /T=0.785，k=2/L=0.1183根据下式（即教材公式（1-118） ） 、针对不同水深 z 可计算斯托克斯质量输移速度沿水深的分布，如下表及下图所示。 123)sinh(31)(43)2sinh(312cosh)(sin16 22 zkzkzkkHU水深 z sigema k z/h kh F - 11 -0.5 0.785 0.1183 -0.1 0.5915 0.014783 -0.67052 -0.00991-1 0.785 0.1183 -0.2 0.5915 0.014783 -0.26316 -0.00389-1.5 0.785 0.1183 -0.3 0.5915 0.014783 0.423032 0
