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1、大连理工大学网络教育学院第 1 页 共 6 页复变函数与积分变换辅导资料三主 题：第一章 复数与复变函数 13 节学习时间：2013 年 10 月 14 日10 月 20 日内 容：这周我们将学习第一章复数与复变函数 13 节。在引进复数时，我们着重指出它们与实数类似的地方。复数在加、减、乘、除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则，在描述几何和物理状态中它们有类似的作用。自变量为复数的函数就是复变函数，它是本课程的研究对象。本章着重描述复数的概念和基本运算。本周的学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解复数的概念2、非常熟练地掌握复数各种表示方法及其运算基本概念：复数、复平面知识点：复
2、数第一节、复数及其代数运算（要求达到“领会”层次）一、复数的概念定义 1：设 为复数，其中 , 是虚数单位；通常记为iyxRyx,1i, 和 分别称为 的实部和虚部，分别记作 。iyxzz zyxIm,e当 时，那么 就是一个实数；当 ，则 称为纯虚数；0Imz0zi当 ，那么 称为虚数。iyx（1）复数 和 相等是指它们的实部与虚部分别相等，1122iyxz记作 。2z（2）加法： )()(212121 yixz减法： 乘法： )()( 1212121 yxiyxz除法： 222i定义 2：设复数 ，则称 为复数 的共轭复数，记作 。iyxziyxziyxz定义 3：如果复数 ，则称 为复数
3、 的模，记作),(Ri2yx大连理工大学网络教育学院第 2 页 共 6 页2|yxz二、复数的运算法则1、交换律： 12121,zzz2、结合率： ；33)()( 32132)(zz3、分配律： 1221zz三、复数的共轭运算1、 ，必须且只需 为实数z2、 21212121 )(,)(,)( zzz3、 |z4、5、 zizzIm2,Re2第二节、复数的几何表示（要求达到“简单应用”层次）一、复数的点表示复数 对应有序实数对 ，另一方面，在平面直角坐标系中点iyxz),(yx也对应有序实数对 ，因此复数 可用点 来表示。复),(yP),(iyz),(yxP数 与点 同义。z二、复数的向量表示
4、复数 等同于平面中的向量 ，所以，复数 可用向量iyxzopiyxz来表示。op大连理工大学网络教育学院第 3 页 共 6 页三、复数的极坐标表示设 的复数，复数 的模为 ， 是复数 的任意一个幅角，则0zzrz)sin(co上式右端又称为复数 的三角表示。注：一个复数的三角表示不是唯一的。典型例题：例 1、写出复数 的三角表示i1解：因为 ，2|4)arg(i所以 sn4(coii也可以表示为 )9si(1例 2、设 ，求复数 的三角表示）si(crzz1解：因为 )sin(co,|,|2 rz所以 i(1)sin(co1rz四、复数的指数表示由欧拉公式 ，可得复数 的指数表示iei)sin
5、(corz。irez典型例题：计算题：将复数 化为指数式iz2大连理工大学网络教育学院第 4 页 共 6 页解：因 ，所以 即为所求。323arctng,4zr iez324五、复球面扩充复平面的一个几何模型就是复球面。第三节、复数的乘幂与方根（要求达到“简单应用”层次）一、复数的乘积与商定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；幅角等于它们的幅角的和。典型例题：计算题：正方形的四个顶点按逆时针方向依次为 A,B,C,O（见下图） 。已知点 B 对应的复数 ，求点 A 与 C 对应的复数。iz312解：设点 A 与 C 对应的复数为 ，则31,z iiiizz 213)21)(2)4sn(
6、)co(21 ii 31)4(23定理 2 两个复数的商的模等于它们的模的商；幅角等于被除数与除数的幅角之差。典型例题：大连理工大学网络教育学院第 5 页 共 6 页计算题：设 试求复数 的三角式,20xxiztan1解：由所给复数 化简得z xiixiiz 2sncot2)()tan1)(t( 于是得到复数 的三角式为z )sin()co(xxz二、复数的乘方与开方1、复数的乘方设复数 ，则对正整数 n，)sin(corz )sin(corzn典型例题：计算题：设 ，求实数 与 。iyxi)3()3(10xy解：由于 )6sinco22ii （得 iiii 3512)35()6sn(co)3( 1010 所以 iyxi352根据复数相等的条件得 51,22、复数的开方开方是乘方的逆运算，设 ，则称复数 为复数 的 n 次方根。记作zwnwz。)0(1zwn令 ，sincor)sin(co于是就有 )( rn由此推出 ,210,2(1, krn故得 ,210),(sin)(cos|1 kzwn 典型例题：计算题：求 的所有值41i解：由于 ，所以有)4sin(co2大连理工大学网络教育学院第 6 页 共 6 页3,210)216sin()26cos(44184k kki
