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1、大学物理角动量定理和角动量守恒定律 对于绕固定轴对于绕固定轴oz 转转动的整个刚体而言动的整个刚体而言: : 对于绕固定轴对于绕固定轴oz的的转动的质元转动的质元 而言而言: : 角动量的方向沿轴的正向或负向角动量的方向沿轴的正向或负向, ,所以所以可用代数量来描述可用代数量来描述. . 二、二、 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理当当 M=0 时时 刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变，零时，刚体对转轴的角动量保持不变， 这一规律这一规律就是就是定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律 。由定轴转动
2、定理：由定轴转动定理：即即三、三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律a. .对于绕固定转轴转动的刚体，因对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。= =恒量恒量= =恒量恒量b. .若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成, ,当合外力矩为零时当合外力矩为零时, ,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J J 大大 小小, ,J J 小小 大。大。讨论：讨论：再如：跳水运发动的再如：跳水运发动的“团身团身-展体动作展体动作例如：把戏滑冰运发动例如：把戏滑冰运发动的的“旋动作旋动作LA
3、BABCC常平架上的回转仪常平架上的回转仪如：如：c.c.假设系统内既有平动也有转动现象发生，假设对某假设系统内既有平动也有转动现象发生，假设对某一定轴的合外力矩为零一定轴的合外力矩为零, ,那么系统对该轴的角动量守恒。那么系统对该轴的角动量守恒。刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动刚体的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动例例题题3-7 3-7 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l l ，质质量量为为m m，可可绕绕通通过过其其端端点点O O的的水水平平轴轴转转动动，如如下下图图。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上
4、上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m m ，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s s而而停停顿顿。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C C 离离地地面面的的最最大大高高度度h h，并并说说明明棒棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：这个问题可分为三个阶段解：这个问题可分为三个阶段进展分析。第一阶段是棒自由进展分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖
5、以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO零点，用零点，用表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度, ,那么那么1 1 第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O O轴轴的的角角动动量量守恒。我们用守恒。我们用v v表示物体碰撞后的速度，那么表示物体碰撞后的速度，那么（2 2
6、）式式中中 为为棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。 取取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4）亦即亦即由式由式1 1、2 2与与4 4联合求解，即得联合求解，即得5亦亦即即l l 66s s；当当取取负负值值，那那么么棒棒向向右右摆摆，其其条件为条件为亦即亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C上上升升的的
7、最最大大高高度度，与与第第一一阶阶段段情情况相似，也可由机械能守恒定律求得：况相似，也可由机械能守恒定律求得：把式把式5 5代入上式，所求结果为代入上式，所求结果为当当取正值，那么棒向左摆，其条件为取正值，那么棒向左摆，其条件为(6)(6)例例题题3-8 3-8 工工程程上上，常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使两两飞飞轮轮以以一一样样的的转转速速一一起起转转动动。如如下下图图，A A和和B B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A A轮轮的的转转动动惯惯量量为为JA=10kgJA=10kg m2m2，B B的的转转动动惯惯量量为为JB=20kgJB=20kg m2 m2 。开开
8、场场时时A A轮轮的的转转速速为为600r/min600r/min，B B轮轮静静止止。C C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过过程中，两轮的机械能有何变化？程中，两轮的机械能有何变化？ A ACBACB解：解：以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩
9、，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，局局部部机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失的机械能为失的机械能为 例例题题3-93-9 恒恒星星晚晚期期在在一一定定条条件件下下，会会发发生生超超新新星星爆爆发发，这这时时星星体体中中有有大大量量物物质质喷喷入入星星际际空空间间，同同时时星星的的内内核核却却向向内内坍坍缩缩，成成
10、为为体体积积很很小小的的中中子子星星。中中子子星星是是一一种种异异常常致致密密的的星星体体，一一汤汤匙匙中中子子星星物物体体就就有有几几亿亿吨吨质质量量！设设某某恒恒星星绕绕自自转转轴轴每每4545天天转转一一周周，它它的的内内核核半半径径R0约约为为2 2 10107 7m，坍坍缩缩成成半半径径R仅仅为为6 6 10103 3m的的中中子子星星。试试求求中中子子星星的的角角速速度度。坍坍缩缩前前后后的星体内核均看作是匀质圆球。的星体内核均看作是匀质圆球。解解：在在星星际际空空间间中中，恒恒星星不不会会受受到到显显著著的的外外力力矩矩，因因此此恒恒星星的的角角动动量量应应该该守守恒恒，那那么么
11、它它的的内内核核在在坍坍缩缩前前后后的角动量的角动量J0J00 0和和J J应相等。因应相等。因代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得 由由于于中中子子星星的的致致密密性性和和极极快快的的自自转转角角速速度度，在在星星体体周周围围形形成成极极强强的的磁磁场场，并并沿沿着着磁磁轴轴的的方方向向发发出出很很强强的的无无线线电电波波、光光或或X X射射线线。当当这这个个辐辐射射束束扫扫过过地地球球时时，就就能能检检测测到到脉脉冲冲信信号号，由由此此，中中子子星星又又叫叫脉脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过冲星。目前已探测到的脉冲星超过300300个。个。例例题题3-10 3-10 图图中中的的
12、宇宇宙宙飞飞船船对对其其中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量为为J=2J=2 103kg103kg m2 m2 ，它它以以= =的的角角速速度度绕绕中中心心轴轴旋旋转转。宇宇航航员员用用两两个个切切向向的的控控制制喷喷管管使使飞飞船船停停顿顿旋旋转转。每每个个喷喷管管的的位位置置与与轴轴线线距距离离都都是是r=r=。两两喷喷管管的的喷喷气气流流量量恒恒定定，共共是是=2kg/s =2kg/s 。废废气气的的喷喷射射速速率率相相对对于于飞飞船船周周边边u=50m/su=50m/s，并并且且恒恒定定。问问喷喷管管应应喷喷射射多多长长时时间间才才能能使使飞飞船停顿旋转。船停顿旋转。rdm/2dm/2u-
13、 -u L0Lg解：解：把飞船和排出的把飞船和排出的废气看作一个系统，废气看作一个系统，废气质量为废气质量为m。可以。可以认为废气质量远小于认为废气质量远小于飞船的质量飞船的质量，所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即于飞船自身的角动量，即 在在喷喷气气过过程程中中，以以dmdm表表示示dtdt时时间间内内喷喷出出的的气气体体，这这些些气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为dmr(u+v)dmr(u+v)，方方向向与与飞飞船船的的角角动动量量一一样样。因因u=50m/su=50m/s远远大大于于飞飞船船的的速速率率v(=
14、v(=r) r) ，所所以以此此角角动动量量近近似似地地等等于于dmrudmru。在在整整个喷气过程中喷出废气的总的角动量个喷气过程中喷出废气的总的角动量LgLg应为应为当当宇宇宙宙飞飞船船停停顿顿旋旋转转时时，其其角角动动量量为为零零。系系统统这这时时的的总角动量总角动量L1L1就是全部排出的废气的总角动量，即为就是全部排出的废气的总角动量，即为在在整整个个喷喷射射过过程程中中，系系统统所所受受的的对对于于飞飞船船中中心心轴轴的的外外力力矩矩为为零零，所所以以系系统统对对于于此此轴轴的的角角动动量量守守恒恒，即即L0 0= =L1 1 ，由此得，由此得即即于是所需的时间为于是所需的时间为 选择进入下一节选择进入下一节3-0 教学根本要求教学根本要求3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律3-5 进动进动3-6 理想流体模型理想流体模型 定常流动定常流动 伯努利方程伯努利方程3-7 牛顿力学的内在随机性牛顿力学的内在随机性 混沌混沌谢谢！谢谢！
