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1、大连理工大学网络教育学院第 1 页 共 5 页复变函数与积分变换辅导资料一主 题：准备知识（一）学习时间：2013 年 9 月 30 日10 月 6 日内 容：这周我们将学习函数的导数与微分。求函数的导数的方法是研究复变函数与积分变换的基础，尤其是研究解析函数与共形映射的基础。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：一、导数（一）导数的定义定义：设函数 在点 的某邻域内有定义，若)(xfy0存在，则称函数 在点 处可导，并称此极限为xfxx 00lim)(li0 )(xf0在点 的导数。记作： ； ； ；)(fy0xy0f0xdy0)(xf即 hfffxf hx lim)(lili) 0000 （
2、二）函数的求导法则1、函数的和、差、积、商的求导法则(1)若 ，则 ( 为常数)()(xvuxf)()( xvuf,(2)若 ，则x推广： c)(uvwvuw(3)若 ， ，)(xf02)()()(xvuxf 2、初等函数的导数现将我们已求出的基本初等函数的导数列表如下，作为基本求导公式。（1） 0)(c（2） 为任意实数）(1x（3） aln)(（4） xe大连理工大学网络教育学院第 2 页 共 5 页（5） axaln1)(log（6）（7） cs)(si（8） xino（9） 2sec)(ta（10） xx（11） tansec)(（12） xxo（13） 21)(arcsin（14）
3、2)(rox（15） 21actn（16） )o(xr例：设 ，求ysily解： )(ni1xxcosi1xt二、微分（一）微分的定义定义：设函数 在 处可导，则增量 的线性主)(xfy )(xfxfy部 称为 在 处的微分，记作 或 ，即 。xf)(f d)d注 1：规定 ，所以 的微分记作 ，所以xd)(xfyxfy)(，因此，导数也叫做微商。)(xfdy2：由定义知 在 处可微必可导，可导也必可微。)(xfy3：当 很小时，有 。所以可用微分作近似计算|xdy大连理工大学网络教育学院第 3 页 共 5 页（ 很小）xfxf )()( |（二）基本初等函数的微分公式与微分运算法则1、基本微
4、分公式（注意与求导公式的区别）2、函数和、差、积、商的微分法则（注意与求导法则的区别）3、复合函数微分法（微分形式的不变性）设 及 都可导则复合函数 的微分为)(ufy)(x)(xfydufdxy)(于是由 ,所以复合函数 的微分公式也可以写成dx)( 或fy)(yu由此可见无论 是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式u保持不变。这一性质称为微分形式不变性。dfy)(例：设函数 ，求xycos3dy解： xxx sinco3)()( 32三、高阶导数（一）高阶导数的概念若函数 的导函数 在 点可导，就称 在点 的导数为函)(xfy)(xf0)(xf0数 在点 处的二阶导数，记为 ，即 ，)(
5、f0 )(0f )()lim000 xffx 此时，也称函数 在点 处二阶可导。)(xfy0注 1：若 在区间 上的每一点都二次可导，则称 在区间 上二I )(xfI次可导，并称 为 在 上的二阶导函数，简称二阶导数；xf),()(f2：由二阶导数 可定义三阶导数 ，由三阶导数 可定义四阶)(xf )(xf导数 ，一般地，可由 阶导数 定义 阶导数 。因此，)(4xf 1n)1(n)(n求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导就可以了。 （请记住方法）（二）高阶导数的运算法则1、 )()()( xvuxvunn大连理工大学网络教育学院第 4 页 共 5 页2、 （C
6、为常数）)()(nnu3、 vuvvv 2,u3)( )()()2()1()()( !)1()! nknnnn vuuknvuvuv （莱布尼兹公式）例：设函数 ，则 xey2)0(y答案：4解题思路： 4,4)2(022 xxxx ye，四、偏导数对于二元函数 ，如果只有自变量 变化，而自变量 固定，这时),(yxfzxy它就是 的一元函数，这函数对 的导数，就称为二元函数 对于 的x ),(xfz偏导数。定义：设函数 在点 的邻域内有定义，固定 ，当),(yxfz),(0y0y有增量 时，函数的偏增量与 之比，当 时极限存在，即xxffxz ),(),(limli 0000称这极限值为 在 处对 的偏导数，记作 ，),(yfz),x),(0yxf， 或 。),(0yxz,0x,(0f同样 在 对 的偏导数为),(f),0yyxfxfzy ),(),(limli 0000记作 ， ， 或 。),(0yxf ),(0xz),(0yz),(0f偏导数求法： 对 求导时， 看作常数；对 求导时， 看作常数。,yf yx（要求掌握求导方法）大连理工大学网络教育学院第 5 页 共 5 页例、设 则2yxzxyxz2)(2
