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1、第一讲：不等式与绝对值不等式,宜良二中李仁贵,一、不等式,宜良二中李仁贵,1、不等式的性质：,性质1,（对称性）,性质2,（传递性）,性质3,（同加性）,性质4,（乘法法则）,性质6,性质7,性质8,（乘方法则）,（开方法则）,性质5,（同向可加性）,（同向可乘性）,2.两个重要不等式：,基本不等式1：,基本不等式2：,注意：两个基本不等式的不同点和相同点:, 两个不等式的适用范围不同；, 等号成立的条件相同., 基本不等式2可推广到有限个，如,基本不等式2推广：,教材第10页：,证明（1）：,（2）：,教材第10页：,证明（1）：,（2）：,教材第10页：,证明（1）：,（2）：,教材第10
2、页：,证明：,教材第10页：,证明：,教材第10页：,证明：,教材第10页：,证明：,教材第10页：,12. 已知 a,b,cR+，求证：,证明：,（1） a,b,cR+，,证明：,（2） a,b,cR+，,教材第10页作业：,13. 在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？,解：,设矩形的两边分别为 a,b，对角线为定值 d，,则,且,当且仅当 ab时，等号成立.,故当矩形是正方形时,周长取得最大值，,最大值为,又,当且仅当 ab时，等号成立.,故当矩形是正方形时,面积取得最大值，,最大值为,14. 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h
3、为何值时，内接圆柱的体积最大？,解：,当且仅当 2r2h2时，,即,时，,内接圆柱的体积V取得最大，,最大值为,14. 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？,解2：,令,则,由,得,故当,时，,内接圆柱的体积V取得最大，,最大值为,15. 已知,且,求证：,证明：,即,由于,所以,二、绝对值不等式,宜良二中李仁贵,绝对值的意义：,绝对值的运算,1、绝对值三角不等式,问题：,这需要讨论：,综上可知：,1、 与及的大小关系怎样？,含绝对值的不等式,那么 与 及 的关系是什么呢？,定理：,证明：,由上面的定理得：,证明：,问题3：定理 中,a、b
4、满足什么条件时，可以取“=”号？,证明：,例1.,证明：,由,得,例2.,例3.,证明：,例4 已知,求证:,证明:,由已知,得,例5.,求证：,证明：,变式练习.,求证：,证明：在时，显然成立.,当时，, 原不等式成立 .,=左边,右边=,变式练习.,求证：,分析：,变式练习.,求证：,利用真分数的性质,证法2：,(见教材12页例2), 原不等式成立 .,证法3：,由不等式左右两边特征，建立函数模型：,则由,即, 原式成立 .,变式练习.,求证：,作业：P19 5,6,7,8,9,例1,解不等式,解：,故原解不等式的解集为,几何意义：,例2：,解不等式,分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去
5、绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义；二是根据绝对值的性质.,解法一：,原不等式,或,或,解不等式,解法二：,原不等式,或,或,解不等式,解法三：,原不等式,一般地：,例4. 解不等式：,解：,综上所述原不等式解集为,解：,由函数图象得：,则,画出函数图象,例5,解2：,由绝对值的几何意义知,表示数轴上x对应的点到 -2 和 1对应的点的距离之和小于 a ,只需,即,例5,.,变式1:,解:,只需,变式2:,R ,解:,.,由题意:,只需,例6两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路碑的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个
6、施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,解：,设生活区应该建于公路路碑的第x km处，,两个施工队每天往返的路程之和为 S(x) km ,则,当且仅当,取等号.,即,故当 时，,答：生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小.,解法2：,设生活区应该建于公路路碑的第x km处，,两个施工队每天往返的路程之和为 S(x) km ,则,即,作出函数 S(x) 图象 ,由图象得 ,当 时，,例7 设二次函数,对一切,证明：,（1）由题意，有,即,（2）由题意，有,即,由（1）知：,例7设二次函数,对一切,证明：,由题意，有,即,又由（1）知：,（2）,则要证原不等式，,只需证明：,令,作业：资料,解(1)：,(2)：,画出函数图象,也可以分别求各段函数的最小值,解(1)：,(2)：,画出函数图象,也可以分别求各段函数的最小值,解(1)：,(2)：,画出函数图象,解(1)：,(2)：,解(1)：,(2)：,(2)：另解,解(1)：,(2)：,解(1)：,(2)：,解(1)：,(2)：,解(1)：,(2)：,解(1)：,(2)：,解(1)：,(2)：,作业：资料,
