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1、实验二 重力加速度的测定一、单摆法实验内容1学习使用秒表、米尺。2用单摆法测量重力加速度。教学要求1. 理解单摆法测量重力加速度的原理。2. 研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。3. 学习在实验中减小不确定度的方法。实验器材单摆装置（自由落体测定仪） ，秒表，钢卷尺重力加速度是物理学中一个重要参量。地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值之差约为 1/300。研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以
2、对地下资源进行探测。伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的幅度无关，并进一步用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。这就是单摆的等时性原理。应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度 g 和摆长 L，只需要量出摆长，并测定摆动的周期，就可以算出 g 值。实验原理单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很
3、小距离，摆角小于 5） ，然后释放，摆球即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，如图 2-1 所示。f =P sinf T=P cosP = mgL图 2-1 单摆原理图摆球所受的力 f 是重力和绳子张力的合力， f 指向平衡位置。当摆角很小时（5） ，圆弧可近似地看成直线，f 也可近似地看作沿着这一直线。设摆长为 L，小球位移为 x，质量为 m，则sin = Lxf=psin=-mg =-m x （2-1）Lg由 f=ma，可知 a=- xg式中负号表示 f 与位移 x 方向相反。单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式： a= =- 2xmf可得 = lg于是得单摆运动周期为：
4、T=2/ =2 （2-2）gLT2= L （2-3）4或 g=4 2 （2-4）利用单摆实验测重力加速度时，一般采用某一个固定摆长 L，在多次精密地测量出单摆的周期 T 后，代入（2-4 ）式，即可求得当地的重力加速度 g。由式（2-3）可知，T 2 和 L 之间具有线性关系， 为其斜率，如对于各种不同24的摆长测出各自对应的周期，则可利用 T2L 图线的斜率求出重力加速度 g。上述单摆测量 g 的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量 5时两次不同摆角 1、 2的周期值进行比较。在本实验的测量精度范围
5、内，验证出单摆的 T 与 无关。实际上，单摆的周期 T 随摆角 增加而增加。根据振动理论，周期不仅与摆长 L有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：T=T01+( )2sin2 +( )2sin2 +143式中 T0为 接近于 0o时的周期，即 T0=2 gL2悬线质量 m0应远小于摆球的质量 m，摆球的半径 r 应远小于摆长 L，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为： 210213512LrmrgLT3如果考虑空气的浮力，则周期应为： 摆 球空 气20T式中 T0是同一单摆在真空中的摆动周期， 空气 是空气的密度， 摆球 是摆球的密度，由上式可
6、知单摆周期并非与摆球材料无关，当摆球密度很小时影响较大。4忽略了空气的粘滞阻力及其他因素引起的摩擦力。实际上单摆摆动时，由于存在这些摩擦阻力，使单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动，使周期增大。上述四种因素带来的误差都是系统误差，均来自理论公式所要求的条件在实验中未能很好地满足，因此属于理论方法误差。此外，使用的仪器如停表、米尺也会带来仪器误差。操作步骤1仪器调整：本实验是在自由落体测定仪上进行，故需要把自由落体测定仪的支柱调成铅直。调整方法是：安装好摆锤后，调节底座上的水平调节螺丝，使摆线与立柱平行。2测量摆长 L测量摆线支点与摆球质心之间的距离 L。由于摆球质心位置难找，可用米尺测悬点到摆球最
7、低点的距离 L1， （测三次） ，用千分尺测球的直径 d， （测三次） ，则摆长：L=L1-d/23测量摆动周期 T使摆球摆动幅度在允许范围内，测量摆球往返摆动 50 次所需时间 t50，重复测量 3次，求出 T= 。测量时，选择摆球通过最低点时开始计时，最后计算时单位统一50t为秒。4. 将所测数据列于下表中，并计算出摆长、周期及重力加速度。次数 L1（cm）摆 球直径 d(cm)摆长L=L1-d/2(cm)50 个周期t50(s)周期 T(s) 重力加速度 g(cm/s2)123平均5实验不确定度对 g=4 2 根据不确定度的相对式有：1/TdL 2221 )ln()ln()ln( Tdg
8、 gg其中：=1lnLd2/g1/l1T2n22)()(TLgd注意事项：1摆长的测定中，摆长约为 1 米，钢卷尺与悬线尽量平行，尽量接近，眼睛与摆球最低点平行，视线与尺垂直，以避免误差。2测定周期 T 时，要从摆球摆至最低点时开始计时，并从最低点停止计时。这样可以把反应延迟时间前后抵消，并减少人为的判断位置产生的误差。3钢卷尺使用时要小心收放4秒表轻拿轻放，切勿摔碰。5实验完毕，松开秒表发条。问题讨论1从误差分析角度说明为什么不直接测量单摆往返一次的时间。2摆球从平衡位置移开几分之一摆长时， 5 度。3单摆摆动时受到空气阻力作用，摆幅越来越小，它的周期有什么变化？如用木球代替铁球有何不同。二
9、、光电控制计时法实验内容用自由落体法测定重力加速度教学目的1学习使用数字毫秒计和米尺2理解掌握匀加速直线运动的规律实验器材自由落体测定仪，钢卷尺，数字毫秒计实验原理在重力作用下，物体的下落运动是匀加速直线运动。这种运动可以表示为：s=v0t+gt2/2式中 s 是在时间 t 秒内物体下落的距离， g 是重力加速度。如果物体下落的初速度为零，即 v0=0，则 s= gt2/2 （2-5） 可见，如果能测得物体在最初 t秒内通过的距离 s，就可以算出重力加速度值 g。实际中由于 v0=0这一条件不易达到，往往造成小球通过第一光电门时有一初速度v0，测得的时间值比小球实际下落时间短，使测得结果 g值
10、偏大。同时，测量 s也有一定困难，所以我们可以采取测量两次下落的高度差来消除误差。若 S1= gt12 ， S2= gt22，两式相减整理有 ，即121tsg（2-6）21tsg上述测定重力加速度值的实验，还可以用稍微不同的方式进行。如图2-2所示，让物体从O点开始自由下落，设它到达点A的速度为 v1。从点A开始，经过时间 t1后，物体到达B点。令A、B间的距离为 s1，则s1=v1t1+ gt12 （2-7）若保持前面所述的条件不变，则从点A起，经过时间 T2后，物体到达点B。令A、B间的距离为 s2 ,则s2=v1t2+ gt22 （2-8 ）将式(2-8) t1-(2-7)t2 ，得 s
11、2t1-s1t2= (t22t1-t12t2) 于是得到gO OABs1ABs2图 2-2 自由落体示意图 （2-9 ）12tsg操作步骤：（一） 按式（2-6）测定重力加速度1将重锤悬挂在铁芯上，调节底座螺旋，使支柱处于铅直状态后，取下重锤。2捏紧气囊，使它吸住小球。将第一个光电门固定在小球恰好不挡光的地方，调整第二光电门与第一光电门的距离，然后测出这个距离。3使小球自由下落，记下数字毫秒计上显示时间 t，共测次。4改变第光电门的位置，重复上述步骤。5按式（2-6）计算重力加速度的平均值。6计算不确定度。 由 g= 21)(ts221221 121 )ln()ln()ln()ln( ttss
12、g gg 其中： =g1=2lns=1tg21t=2ln(二)按式（2-9）测定重力加速度1. 调节好落体测定仪。2将第一光电门固定在支柱上部某一位置，第光电门固定在支柱中间位置。测出这个距离 S1。3小球自由下落，记录时间 t,共测 6 次。4改变第光电门的位置，重复上述步骤。5按式（2-9）计算重力加速度。6计算不确定度。 221221 11 )ln()ln()ln()ln( ttssg ggg 其中：=1lns21ts =2lnsg21ts=1lt 21ttt=2lntg21ttst注意事项1调节仪器铅直放置，上下两光电门中心在同一条铅垂线上，使小球下落时的中心通过两个光电门的中心。2对每一时间值要进行多次测量。3实验中支柱不应晃动，操作中不要碰撞实验装置。4小球要自由下落，不应人为的挤压气囊。问题讨论自由落体法测定重力加速度中，方法 1 与方法区别在哪里？那一个测量结果误差更小一些？
