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1、承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写
2、完整的全名）： 烟台南山学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴冰冰 2. 宋雪涵 3. 邢丽静 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 纪老师 日期：2011 年 8 月 15 日关于西瓜种植方案的最优选择摘要本文就西瓜种植方案的选择与获利问题进行了研究，在考虑市场销售实际情况、合理假设的基础上建立相应的模型进行分析求解。问题一，引用近似假设法，建立完全信息静态博弈模型，对此采取 NASH 均衡策略。通过对每户的获利函数求偏导得出相应的 NASH 均衡解。问题二，引用函数分析法，建立两个相应的一元二次方程，求出张三不能提高最大收益。问题三，引用分段分析法，建立李四和王五的总播种量在不
3、同区域内时他们的最大收益，求取相对最优值。并引用客观权重对总利润进行分配，求出李四和王五各自的种植数量和收益。问题四，建立合作对策模型，通过 PARETO 改进求得 PARETO 最优解，将问题转化为多元目标规划求得出合作模型的最优决策方案。经过对比可得出三人合作时各方所获得的收益都大于非合作时各方所收获利益。最后对模型的假设、分析和求解过程作出评价及推广。关键词：收益 完全信息静态博弈 NASH 均衡 PARETO 最优解 - 1 -目 录关于西瓜种植方案的最优选择 .- 1 -摘要 .- 1 -一、问题重述 .- 2 -二、问题分析 .- 3 -三、模型假设 .- 4 -四、符号说明 .-
4、 5 -五、模型的建立与求解 .- 7 -5.1 问题 1 的模型： .- 7 - 5.2 问题 2 的模型 .- 9 -5.3 问题 3 的模型 .- 9 -5.4 问题 4 的模型 .- 11 -六、模型的评价与推广 .- 14 -参考文献 .- 15 - 2 -一、问题重述张三、李四和王五是自由市场上仅有的三个出售西瓜的农民，设三人种植西瓜的数量分别为 、 与 （单位：个） ，成本分别为（单位：元/个）zqlw0.5250z zCq.0520l llq.6w wC西瓜的市场价格为 3750250zzl wllqqp1、张三、李四和王五同时播种，且三人对自己和对方的成本及市场需求具有完全信
5、息，在互相不通种植信息的前提下求各自的决策，以及在此决策下各自的产量和收益。2、若李四和王五按上述决策执行，但张三没有按上述决策执行，而是等其它两方播种后，再决定播种数量。那么，张三能否提高收益？其产量及收益分别是多少？3、若李四与王五知道了张三的上述“计谋” ，因此，根据他们自己的种植量，就可以推算出张三的种植量,从而推算出市场价格以及自己的利润。lwq李四与王五为使他们的总利润最大，应该选择怎样的种植数量？同时，他们两人之间又应如何划分种植数量？收益各如何？4、若三人决定合作，问应如何合作？各自的产量及收益分别是多少？3二、问题分析问题一：由于每户的成本不同，但差距很小，为方便分析，引用近
6、似假设法，建立完全信息静态博弈模型，对此采取 NASH 均衡策略，即任意一方在不考虑其它各方种植方案的情况下，都认为自己的选择方案是最好的，对每户的获利函数求偏导，令其为零，求得三农户中各自的策略对其它两农户的策略的反应函数，求解并验证可求得该问题的 NASH 均衡解。问题二： 由问题一可知李四和王五的播种数量，所以分两种情况建立两个个关于张三收益的一元二次方程，求得最大收益不变，即张三不能提高收益。问题三：此问题属于效益的合理分配问题，这种合作通常都是为了利益，是非对抗性的，确定合理分配这些利益的最优方案是促成合作的前提。首先设李四和王五的总的种植量为 ，对 进行分段讨论，得出李四和王五种植
7、数量的分配值，求得此qlwl时两人的最大总利润。当 时，由于李四的成本比王五的少，所以 即为20lw qlw李四的种植数量。当 时，假设使利润最大的 已经知道且为定值，求得l qlw最大总利润函数，确定出两人中只有一个人种植，由于两人成本相同，任何一个种植，利润相同，因此选择以李四种植来计算总收益，最后通过客观赋权求得两人的利益分配。问题四：针对三人决定合作，建立合作对策模型，首先建立三人的对策集、决策集和获利函数，求出威慑向量，通过帕累托特改进求得帕累特最优解，再将问题转化为多元目标规划求得出合作模型的最优决策方案。4三、模型假设1 市场上西瓜的供销严格按题目的所给条件运行；2 每个人都认为
8、收益越多越好；3 所有人的决策都是理性的；4 两人合作时的总利润具有可转移效用，三人合作时的总利润具有不可转移效用；5 当市场价格不高于任何一方的种植西瓜的成本时，改该方不会选择种植；6 本年该自由市场销售西瓜的人只有张三、李四、王五三个瓜农；7 本年该自由市场周边的人流变动出入不大；8 三个瓜农的种植条件（如土壤质量、品种、技术等）出入不大，导致各自生产的西瓜上市时间间隔不大，质量上也基本相等；9 市场上的三位瓜农必须遵守市场规则，否则将受到相关部门的制裁。5四、符号说明：张三种植西瓜的数量；zq：李四种植西瓜的数量；l：王五种植西瓜的数量；w：李四和王五合作时两人种植西瓜的总数量；lq：满
9、足纳什均衡时张三种植西瓜的数量；Qz：满足纳什均衡时李四种植西瓜的数量；l：满足纳什均衡时王五种植西瓜的数量；w：张三种植西瓜的成本；cz：李四种植西瓜的成本；l：王五种植西瓜的成本；w：李四和王五的成本和；cl：西瓜的市场价格；p：张三所获收益；uz：李四所获收益；l：王五所获收益；w：满足纳什均衡时李四和王五所获总收益；Ul：满足纳什均衡时张三所获收益；z：满足纳什均衡时李四所获收益；l：满足纳什均衡时王五所获收益；w：李四或王五的不合作时李四的获利分配权值；l：李四或王五的不合作时王五的获利分配权值；w6：李四和王五的合作获利分配权值向量7五、模型的建立与求解5.1 问题 1 的模型：这是一个三人非合作对策问题，也是完全信息静态博弈模型。由于每户的种植成本不全同，但是差值很小，故可近似假定每户成本都是 0.5 元或都是 0.6 元。（1）当 时5.0cwlz三农户的得益函数分别为： 5.023.5.203ququwlzwlzll wlzz分别令 025.dqwlzz0.quwzlll 25.dqzlww以此分别求出三农户各自的策略分别对其它两户策略的反应函数为： qRwlwlz 21310, zzll 5,qzlzlw21310,8由此可得纳什均衡解 1562Qwlz（2）同理当 时.0clz解得纳什均衡解为： 0wlz由此可确定出三农户的成
