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1、 线 代 第一章 行列式一、重要公式1 2 3AA11 1nAAkkAn4 5 BAAB BABOA*6BABO*7 8nmnmn BAOA)1( niiaO 1*9范德蒙行列式： nji ijnnnn nxxxx xxx 113121 223221 )(1 二、主要知识网络图排列 逆序奇、偶排列概念 nnnaaaaD 212211性质 行列互换，行列式值不变，即行列式与其转置行列式相等。互换两行（列） ，行列式值变号。某行（列）有公因数，可提到行列式之外。某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，行列式值不变。若行列式某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆成两行列式之和。若行列式有两
2、行（列）对应成比例，则值为零。行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。计算 三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法应用 Grame 法则奇次线性方程组有非零解的充分条件第二章 矩阵一、重要定理定理 2.1 设 A，B 是 n 的阶矩阵，则 。BA定理 2.2 如果 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵唯一。定理 2.3 n 阶矩阵 A 可逆 ,)(021sPnr），是 初 等 矩 阵 （ siPi 1定理 2.4 初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵作相应的行（列）变换。定理 2.5 初等矩阵可逆，且其逆同类型初等矩阵，即 。)(),1(,11 kEkiiEijij
3、ijij 定理 2.6 如果矩阵 A 与 B 等价，则（1）秩 r(A)=r(B) (2 )存在可逆矩阵 P 与 Q,使 PAQ=B。定理 2.7 若 r(A)=r,则 A 中有 r 个线性无关的行（列）向量而其它的行（列）向量都可由这 r 个向量线性表出。即 r(A)=行秩 =列秩。二、重要公式、法则1 加法与数乘（1）A+B=B+A (2 ) (A+B)+C=A+(B+C) (3 ) A+0=0+A=A (4 ) A+(-A)=A (5) k (l A)=(kl)A (6 ) (k+l)A=kA+lA (7 ) k(A+B)=kA+kB (8 ) 1A=A, 0A=02.乘法（1）(AB)
4、C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)(lB)=kl(AB) (4)A0=0A=03.转置(1)（A T)T=A (2)(A+B)T=AT+BT (3)(kA)T=kAT (4) (AB)T=BTAT4.可逆(1) (2) (3) (4) 1A)()(11111)(B5.伴随（1） （2） (3) EA* *)(1knTTA)(*(4) (5) )()(1* A6. n 阶矩阵的行列式（1） (2) (3) (4) (5) ATknB1A1nA7. 矩阵秩的性质(1) （P、Q 可逆）)()()() ArPrrT(2) (3) BA00)(krk如 果如 果(4)
5、；)(rOr )(BrACO(5) （n 表示 A 的列数 B 的行数）)(,mi)(rABnA(6) (7) AB=0 （n 表示 A 的列数 B 的行数）nrr)( r)(8) A 为实矩阵 ？)(TTr（9） 1)(10)(*nArr三、二阶方阵：（1） bcadcdcbaA1 （2） 号 ”记 法 ： “主 换 位 ， 副 变acbdA*四、分块阵， 11BOOABBO1， 11CACA 11CC五、可逆的判断法1n 阶矩阵 A 可逆 A 的行（列）向量线性无关 仅有零解nr)(0 0AX，sP21），是 初 等 矩 阵 （ sii 12 上三角阵的逆阵为上三角阵，且其主对角线上的元素
6、为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交阵（ ）IT1A 正交， 。 2A 正交， 也正交。 3A 正交， 也正交。 T 14A 正交， 也正交。 5A 正交， 。 6A 正交，AB 也正交。* 1七、对角阵1. A 为方阵， 为反对称阵 （ ） 。TT2. A 为反对称阵：则 为反对称阵 (n 为偶数)*则 为对称阵(n 为奇数)则 为反对称阵( )1A0则 AB 反对称 B 对称且 AB=BA3. 为反对称阵,则 也是反对称阵。*14.A 为对称阵，则 也是对称阵。*5*.实的反对称阵的 只能为 0 或 bi 形式。i口诀 ： 1、题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到
7、用行列式按行 (列) 展开定理以及AA*=A*A=|A|E。2、若涉及到 A、B 是否可交换，即 ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3、若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。第三章 向量空间1、 A 的行（列）向量无关， A 的行（列）向量相关00口诀 ：1、若要证明一组向量 1,2,S 线性无关，先考虑用定义再说。2、若已知 AB0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。第四章 特征值与特征向量一、重要公式1、 2、 3、 A 可逆niA1niniatrA110i4、可逆阵 A 的每行之和为 ，则 的一个特征
8、值为 ，且对应的特征向量为0a11 1X5、kE-A 的可逆性 0AkEki不 可 逆可 逆 的 特 征 值为i6、A 可逆且有 n 个无关的特征向量 有相同的 n 个无关的特征向量。11,7、 )();(BtrAtrB8、矩阵 A1k A m*f（A） P1TA)(1B（A的初等变换）特征值 1k f（ ） 不定特征向量 1PT不一定是 不定二、相似与对角化（A 为 n 阶方阵）有 n 个不同的iA 有 n 个线性无关的特征向量 A 为实对称矩阵0)(XAIi有 个无关解ikA 的每一个 重 有ikii个线性无关的特征向量 iiknIR)(三、可对角化的判断方法1、 A 为实对称矩阵2、 )
9、(jiji3、 )(重 数为 iii knIR四、合同（ ，记作： ）可 逆PABT, AB1、 合同不一定有相同的 。i2、 A 合同于 B，则 R（ A）=R（B）且 同号，A、B 有相同的正惯性指数。,3、 A 合同于 E，则 A 正定。五、A、B 有相同的特征值 A 等价 B A、B 对应正负惯性指数相同)(为 实对 称 阵, BA六、变 换 关 系 变 换 阵 性 质等 价 PAQ=B P、Q 可逆 秩不变相 似 BA1P 可逆 秩不变 不变 i，tr（A）B=tr（B）正交相似 C1C 正交 秩不变 不变 i，tr（A）=tr（B）合 同 BAPTP 可逆 秩不变 对称性不变口诀
10、：1、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。2、若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A 0 0 0 处理一下再说。 第五章 二次型一、正负定判断：1、正定 正惯性指数=n A 的所有特征值 n 个主子行列式的值都为正数 A 合同于 E。0i2、负定 负惯性指数=n A 的所有特征值 n 个主子行列式的值负正相间i二、化二次型为标准型1、 配方法2、 合同变换法 PE3、 特征值法口诀 ：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。口 诀第一句话：题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行 (列)展开定理以及AA*=
11、A*A=|A|E。第二句话：若涉及到 A、B 是否可交换，即 ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。第四句话：若要证明一组向量 1,2,S 线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知 AB0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A00 0 处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。Return
