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1、 毕业论文开题报告题 目： 微分方程的数值解法 院 系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 袁琪 学 号： 201010010219 指导教师： 肖烨讲师 2014 年 3 月 16 日 毕 业 设 计（论 文）开 题 报 告1文献综述：结合毕业设计（论文）课题情况，根据所查阅的文献资料，每人撰写 2500 字以上的文献综述，文后应列出所查阅的文献资料。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解
2、方法却各有不同，因此.线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。1691 年，莱布尼茨用分离变量法解决了形如 ydx/dy=f(x)g(y)的方程。同年，他又解出了一阶齐次方程 =f(y/x)。1693 年，莱布尼茨给出了线y性方程 dy/dx=p(x)y+q(x)的通解表达式。1743 年，欧拉定义了通解和特解的概念，同时还给出了恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根法。皮亚拿和比卡，他们先后于 1875 年和 1876 年给出了常微分方程的逐次逼近法。1881 年，庞加莱创立了常微分方程的定性理论。同时，此理论的一系列课题成为动力系统的开端。1892 年，数学家李雅普诺夫
3、开创了微分方程运动稳定性理论研究。20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。19271945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如 闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组
4、到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是C封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣,但目前得到的成果仍然只是初步的。目前常微分方程的研究领城比以往任何时候都广泛，大致有九个分支学科：一般理论；边值问题；定性理论；稳定性理论；泛函微分方程和差分方程；微分方程的渐近理论；巴拿赫空间及其他抽象空间的微分方程；控制理论问题以及随机微分方程和方程组。这些领域都有不少数学家在从
5、事工作，每年发表的文献总数在 1000 篇以上.例如，一般理论仍然是常微分方程最活跃的领城之一。近二十年来，由于研究继电控制系统等实际问题提出了一类右端不连续常微分方程系统和广义常微分方程。由此就要求对解重新定义, 即广义解的定义问题。与此同时又提出这类解的存在性、唯一性问题。再如，在自动控制、生物学、医学、经济学等领城中提出了一类数学模型, 类似一般的常微分方程 , 但其解的未来状态 , 不仅依赖于初始状态, 而且与过去的状态有关。这些数学模型被概括为所谓泛函微分方程（Funstion Diff,Eqs,简写为 FDE） ，成为常微分方程的重要分支学科。这类方程早在 1750 年欧拉就已经提
6、出，但 20 世纪前只有个别工作，1900 年1948 年间从各个方面提出的 FDE 逐渐增多，但仍未成为一个独立分支。1949 年后贝尔曼（R.Bellman，1920,8,20，美国数学家）等建 立了普遍存在唯一性、稳定性定理后，才成为一个独立的数学分支。目前这类方程的稳定性同样是头等重要的问题。常微分方程是数学学科各专业的一门基础课，是整个数学课程体系中一个重要组成部分。它是数学分析和高等代数的后续,课程起着承上启下的作用，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。 常微分方程课程内容包括以下七个部分：1. 基本概念，2.一阶微分方程的初等积分法，3.一阶微分方程的解的存在定理，
7、4.高阶微分方程，5.线性微分方程组,6.非线性微分方程,7.一阶线性偏微分方程。常微分方程的研究还与其他学科领域的结合而出现各种新的研究分支，如控制论、 种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程、广义微分方程、时标微分方程等。 “300 年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏，这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。 ”塞蒙斯（Simmons）曾如此评价微分方程在数学中的地位。 数值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代
8、法。这些技术由数学家 卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔于 1900 年左右发明。背景知识和其它方法请参看数值常微分方程条目。经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法” 。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。 龙格库塔法方程龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差 1进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的欧拉公式有 yi+1=yi+h*K1 K1=f(xi,yi)当用点 x
9、i 处的斜率近似值 K1与右端点 xi+1处的斜率 K2的算术平均值作为平均斜率 K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式： yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2（K1=f(xi,yi) K2=f(xi+h,yi+h*K1)）依次类推，如果在区间xi,xi+1内多预估几个点上的斜率值K1、K2、Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率 K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格库塔算法。通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式 。 龙格
10、- 库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下） ，计算过程中可以改变步长，不需要计算高 阶导数等优点，但仍需计算 在一些点上的值，如四阶龙格- 库塔法每计算一步需要计算四次 的值，这给实际计算带来一定的复杂性，因此，多用来计算“表头” 。 主要参考文献1 数值分析 李庆扬/王能超/易大义 著，清华大学出版社，2008 年 12 月2 微分方程数值分析基础教程 A.Iserles 著，清华大学出版社，2005 年 5 月3 数值计算 石瑞民 主编，高等教育出版社，2004 年 6 月4 常微分方程第三版 王高雄/朱思铭等 著，高等教育出版社，2006 年7 月5 数值方法 关治/陆金甫 著，
11、清华大学出版社， 2006年2月6 数值计算方法 黄云清等 著， 科学出版社，2009 年 1 月 7 常微分方程数值方法 胡建伟 著，科学出版社，2007 年 2 月8 常微分方程的解法:非刚性问题(第 2 版影印版)(精)/国外数学名著系列 (瑞士)海尔等 著， 科学出版社，2006 年 12 月9 微分方程数值解法 李荣华/刘播 主编，高等教育出版社，2009 年 1 月10富明慧. 一种改进的精细-龙格库塔法J.中山大学学报(自然科 学版),2009.11李丹. 四阶龙格-库塔法在火控解算中的应用J.微计算机信息,2011.12 W.Walter,?ORDINARY DIFFERENT
12、IAL EQUATIONS, NEW YORK:Springer-Verlag.199813 E.L.INCE, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, NEW YORK:DOVER PUBLICATIONS, INC.1956 毕 业 设 计（论 文）开 题 报 告开题报告：一、课题的目的与意义；二、课题发展现状和前景展望；三、课题主要内容和要求；四、研究方法、步骤和措施开 题 报 告一、课题的目的与意义数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天
13、起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。总结常微分方程的常用解法，提出常微分方程的一些求解技巧，从而以便灵活运用常微分方程建立数学模型来解决实际问题。求解常微分方程的通解或满足初值条件的特解是很重要的，因为根据实际问题建立微分方程及其相应的初值条件，即建立常微分方程模型，是数学建模的基本内容之一。因此掌握常微分方程的解法是很有必要的，尤其是掌握了求解常微分方程的技巧有时可以达到事半功倍的效果。2、课题发展现状和前景展望随着全球经济的迅猛发展，也并带着其他各方面的快速发展，数学作为一个自然基础学科，也在不断的进步发展。而常微分方程在很多学科领域内有着重要
14、的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质问题。应用微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 3、课题主要内容和要求1.求解变量分离方程及可化为变量分离方程类型的方程。2.求解非齐次线性微分方程。3.求解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程。4.求解非齐次线性微分方程。4、研究方法、步骤和措施1.研究方法 （1）Euler 方法 （2）改进的 Euler 方法（3）龙格库塔方法（四阶）2.措施（1）.查找资料困难，去图书馆或者上网寻找。（2).本课题理论性比较强，查找资料，客观判断问题(3).遇到自己无法解决的问题，找指导老师指导。5、进程安排第一阶段 (第 1,3,4 周) ：进行调研，查阅相关资料，撰写开题报告，并于第 4 周星期五 交开题报告； 第二阶段 (第 512 周): 在指导教师的指导下，对课题
