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1、椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况） ，即地面可视为数学上的连续曲面。3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正
2、方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为 0 时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、C 两脚与地面距离之和为 ，B、D 两脚与地面距离之和为 ，显然 、f gf，由假设 2 知 f、g 都是连续函数，再由假设 3 知 、 至少有0g g B A C A x D 图 1 正方形椅脚 D一个为 0。当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只0,fg脚同时着地，就归结为如下命题：命
3、题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且f fg，则存在 ，使 。 0,0fg000fg三、模型求解将椅子旋转 ，对角线 AC 和 BD 互换，由 可知090,fg。令 ，则 ，由2,fghf2hf、g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存在 使0， ，由 ，所以 。0h0f 0*0fgfg四、模型的进一步讨论.考虑椅子四脚呈长方形的情形设 A、B 两脚与地面之和为 ，C、D 两脚与地面距离之和为 ， 为f gAC 连线与 x 轴正向的夹角（如图 2 所示） 。显然 、 ，由假设 2 知f0f、g 都是连续函数，再由假设 3 知 、 至少有一个为 0。当 时，fg不妨设
4、 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为0,f如下命题：命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且fgfg，则存在 ，使 。 0,0fg000f图 2 长方形椅脚将椅子绕对称中心旋转 度，长方形 ABCD 变成了 CDAB（如图 2） ，即 AB 与 CD 互换，由 可知 。令0,0fg0,gf，则 ，由 f、g 的连续性知 h 也是连续函hfh数，由零点定理，必存在 使 ，即 ，由00h0f，所以 。*0fgfg.考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形在椅子四脚连线所构成的四边形 ABCD 的内部任取一点 O，作为坐标原点，建立直角坐标系，记 AO 与 x 轴
5、正向夹角为 ，记 A、B 两脚与地面距离之和为，C、D 两脚与地面距离之和为 ，根据假设 3 不妨设当 时，f g1，将椅子逆时针旋转一定角度，使 A、B 两脚与地面之和为110,gf0，此时，AO 与 x 轴正向的夹角变为 ，由假设 3（任意时刻椅子至少有 3 只2脚着地）易知当 ， ，令 ，则220,fghfg，由 f、g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存12,0h在 , ,使 ，即 ，由0121,)(00f，所以 。*fg00f图 3 不规则四边形五、评 注模型巧妙在于用已元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转 90并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。
