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1、第五章：Youla 参数化和 H-最优控制The Youla Parametrization and H- Optimal Control5.1 稳定分式表示(stable fractional representation-SFR)称 是内部稳定的，或 镇定 。(),()GsK()Ks()Gs()Gs1e()Ks1u2y 1y2u2e图 5.1 标准反馈系统求出 (负反馈条件下) 1 1()()()euIKGIKGHs SFR 意义下的单模阵(幺模阵, unimodular)： 与 都是稳()Us1()s定有理分式，即 。1(),()UsRH设 ，()()()GsNDNs，1 1()()KY
2、XsY (),(),()s sXsYRH 定义： 右互质(right coprime)如果 ()()NssU()()DsUs只对单模阵 成立，则称 与 右互质；N这时称 是不可约的(irreducible)1()()Gss怎样判定 与 右互质？()Ns()Ds存在稳定分式矩阵 使得 。,XY()()XsNYsDI如果 是不可约的(irreducible)，则 的极点是1()()Gss ()Gs的零点。DSFR 表示不是唯一的。按 上面的表示，(),GsK1 1()()()euDYXNYDYXNHI 定理：图 5.1 所示反馈系统内部稳定的充要条件是是单模阵，即 。YXN 1,()YXNRH不失
3、一般性，可以设 ，进而，可以得到，如果 镇DI ()Ks定 ，则存在 ，()Gs(),(),(),(),sssXsY 使得 ，11NN，()()()()KsYXssY且满足 。0IDN所有控制器的参数化由上式可以得到 ， 为任意稳定有()()(YRXRDNsIR理真分式，则所有控制器的 Youla 参数化表示为：。1():()(),det()0SGKNHYN 如果 是稳定的，则闭环系统内部稳定( 镇定 )当)s )Ks(Gs且仅当 是(指数)稳定的。1QIG(按定理 3.5，得出如果 稳定，闭环系统稳定当且仅当 稳定.)GQ这时 ， ，1)IKQ1()IKIQG， 灵敏度函数。1()GI 1(
4、S因此可得任意控制器为 ，即)I1():(), , det()0SKIGRHIQG-所有控制器的 Youla 参数化表示。稳定的传递函数集是一个环(ring)stable fractional representations例 5.1 23()14sG14() 1023 414sssss（问题：上例中 的 MFD 描述是怎样的？）()Gs1010010232(4)2442(4)140 sssss 所以1100()2(4)242(4)20Kssss 检验：101232()14140 4ssss 另一方面， ，0(2)43412()1 01sssss则 确定。(),(),(),(),NsDsNYs
5、XsY 5.2 H-最优化问题 H- Optimization problem不精确已知被控对象的标准反馈结构如图 6.1(P185)。无摄动时如图 6.2(P186)，设1122()()()Psss使得 。使用反馈 得到11221, zPwuywuuKy2():(,)lKIPFPKw实际设计中通常要求： minize l这就是 H-最优化问题 H- Optimization problem本章内容：1) 问题是怎样产生(引出) 的？2) 怎样用状态空间算法求解.问题求解的思路：首先应使系统稳定，给出所有镇定控制器的结构(给出所有控制器的参数化表示)；然后从控制器中选出最优的。5.2.1 一个
6、有启发意义的例子：灵敏度最小A motivating example: sensitivity minimization图 6.3(P187)所示，SISO 系统，设 是未知扰动，但频谱限制在d，寻找一个控制器 使得扰动对输出 的影响最小0bKyminze , orminze sup()SSj-灵敏度函数，在该频率段上幅值最小，但超出该段1()SIGK将导致噪声放大，使稳定性(裕度)变差。通常设计取权函数 ()1, 0; ()1, b bWj Wj=则最小化问题 。minze sup()jSj如定义 ，则 ，1()QKIG1()IKGQ， 。灵敏度函数 1()I ()I。SIQ这时优化问题转化
7、为 stable minzsup()(WIGQj应用 Youla 参数化方法使我们转化设计问题作为一个几乎不受约束的优化问题( 任意取，保证系统正则稳定)。Q该例显示：Youla 参数化可以简化优化问题。如果 取幅值最JWS小，则最优值 是常值，即全通函数。因此，选择权函数是至关*J重要的，这是一个敏感的(sensible)工程问题。注意：有时最优解是不可实现的；即问题可能无解(解是非正则控制器)。有的问题不用 Youla 参数化求解，不是 H-问题。5.3 H-控制问题公式化The H- problem formulation5.3.1 几个 H-问题的例子灵敏度最小 sensitivity
8、 minimization11222(,)()lFPKPKIP1 1()()lWIGIGKI 112212, , , 一般考虑 是方形情况，当 行比列多 ( 列比行多) 更复杂。P1P21P加摄动下的鲁棒性 Robustness to additive perturbations如图 6.4，6.5(P190-191)，摄动 的界依赖于与频率有关的函数()(), foreach jrj由小增益定理，如果 ，则闭环系统鲁棒稳定。1()KIG1111 1()()() KIGrIrKIG 转化为标准形式 1(,)()lFPKrIG则 1122120, , PrII混合特性和鲁棒性目标Mixed pe
9、rformance and robustness objective为了得到好的干扰抑制性能(disturbance-rejection performance)和鲁棒稳定性(robust stability)，通常要求保持不能同时实现。在不同频率域上加权SI小 （ 在 量 值 上 ）小设 12(,)()lWSFPKI11122122, , , 0WGPPIG5.3.2 性能鲁棒：一个未解决的(unsolved)问题有些重要的设计问题不能转化为 H-问题，如性能鲁棒当存在未建模摄动时。某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题： 1,minze (,)lKDFPKD其中 是对角的，可通过迭代求解 或
10、，给定 求 是标准DKH-问题，给定 求 是凸(convex) 优化问题。同时求最优的 和不易实现。D5.4 Youla 参数化 The Youla (or Q) parametrization5.4.1 fractional representations 分式表示推广矩阵分式描述 Matrix Fraction Description (MFD)到(稳定)分式表示11()()()GsUVssU是稳定的传递函数，而且 右互质，, , , (), UsV左互质。重新定义单模阵 (幺模阵 unimodular)。()s右互质：, V，1, , stableUWXZX1i., XH定理 5.1(B
11、ezouts theorem):和 右互质当且仅当存在 和 使得()s()V()s()Y。XUYI线性系统的分式表示：设 有能稳能检测实现 ，状态空间表示()Gs(,)ABCD取反馈 ， xABuyCD uFxv()xABFxvyD1()()()()ssIABIsMsv1( ()yIBNs则 1()()()()GsCIDNs应证明 右互质(后面证),NM另一方面，(与书中推导不同)xABuyCD()() (xAHCxyBHDuyDu 观 测 器 )进而，得 1 1()()()sIAHIyCsIAHCBDu )(MyNsu 1)GMNs5.4.2 所有镇定控制器的参数化Parametrizati
12、on of all stabilizing controllers正反馈系统(图 6.4，图 2.2 P103)内稳定等价于指数稳定。111()()IKIKGIKG 定理 5.2: 设稳定分式表示：，11NM11KUV则闭环系统内稳定当且仅当和 是稳定的(即是单模阵)。1MUNV1UNM证明： 1 10IKGVN 与 右互质， 与 有相同的稳定性。0MU1IKG1IK定理 5.3: 闭环系统内稳定， ，则 可11GNM11KUV,MNUV以被选择满足(*)0IVNV如果 对应能稳能检测实现 ，则11GM (,)ABCD(,)ABFI,)NCD(,HI,)AB(,VCDFI ,0)UH(,(,)
13、ABFI,)0,()MUFIABFHNVCD ,(),I 定理 5.4: 设 ， 满足1000KUV11GNM00MIVN则 的任意镇定控制器可以表示为11G110000 ()()()()KUVMQNVQNUM这里，任意 。H几点说明： 每取一个 ， 都是控制器；QK 每一个控制器都能表示上面形式； 已知一个控制器，所有控制器都可求。作业：1.设系统传递函数为21()12sGss 求 的 Smith-McMillan 标准形.()s 求右互质多项式矩阵 ，使 .(),MsN1()()()GsNMs 求右互质稳定分式矩阵 ，使 .11 1 求使系统 内部稳定的所有镇定控制器 的参数化(),(GsK()Ks表示.
