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1、第 1 页微积分复习提纲一、 微分1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分 或者梯度函数dffgrad多元显函数的偏导数，见 P16 例 1-例 3，P24 习题 1多元抽象函数的偏导数，见 P28 例 5-例 7，P36 习题 3高阶偏导数，见 P19 例 8，P24 习题 2，P36 习题 4复合函数的偏导数，见 P26 例 1，例 3，例 4，P36 习题 1，22、会求由方程确定的隐函数的偏导数“显”方程确定的隐函数求偏导数， （公式法） ，见 P34 例 12，P36 习题 6，7抽象方程确定的隐函数求偏导数， （直接法） ，见 P34 例 13，P36 习题 8由方程组 确定
2、的隐函数 的导数 ， （直接法：在方程两端同时对 求导，求导过0,zyxGF)(xzydxzy, x程中把 都看做是 的函数，然后解方程组即可） ，见 P35 例 14，P37 习题 9z,由方程组 确定的隐函数 的偏导数（直接法） 见 P37 习题 9,vuyx ),(yxvu3、多元函数微分学的几何应用空间曲线 在点 处的切线方程及法平面方程， 见 P46 例 1，例 2， P50 习题 1、2)(xzyt00,zyM空间曲线 在点 处的切线方程及法平面方程 见 P46 例 3， P50 习题 2 ,yGF00,zx曲面 在点 处的切平面方程与法线方程 见 P46 例 5，例 6， P50
3、 习题 3 0,zx00,y4、方向导数与梯度二、 积分1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域 ， D2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。 Drdrfyx化 二 重 为 二 次 积 分积 分化 为 极 坐 标 系 下 的 二 重极 坐 标 系 化 二 重 为 二 次 积 分积 分再 对先 对 积 分再 对先 对选 择 积 分 次 序直 角 坐 标 系 )sin,co(注：要会做改变二次积分的积分次序，并计算此二次积分的值这种题型，见半期考试试题2、三重积分的计算步
4、骤：1）根据题意写出积分区域 的边界曲面的方程 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分第 2 页 化 三 重 积 分 为 三 次 积 分标 系 下 的 三 重 积 分将 三 重 积 分 化 为 球 面 坐球 面 坐 标 系 看 作 常 数 的 情 况的 方 程 中 将的 方 程 是 围围先 二 后 一 法 线 ”围消方 程 上 下 面 ， 无用 口 诀 “含先 一 后 二 法选 择 积 分 次 序直 角 坐 标 系 2121),(z),(cDz yxzdxyfDd3）化三重积分为三次定积分4）做三次定积分，计算此积分的值3、曲线积分的计算化曲线积分为定积分1）第一类曲线积分（对弧长的
5、曲线积分） Ldsyxf),(步骤：写出积分弧段 的参数方程 ，并确定参数的取值范围L)(t bta根据 的参数方程写出弧长元素 dtydtxs22根据 的参数方程化曲线积分 为对参数 的定积分LLyf),(t baL dtdtxtxfdsyxf 22),(),(2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） LLdyxQyxPlyA),(),(),(方法一：直接化为定积分步骤：写出积分弧段 的参数方程 ，并确定 的起点和终点对应的参数值L)(tyx batBAL:根据 的参数方程化曲线积分 为对参数 的定积分：LLdyxQyxPdlA),(),(, ttttyxQdyxPdlyxAbaLL )(),
6、()(),(),(),(),(方法二：利用曲线积分与路径无关及格林公式步骤：找出 ，并求),(, xyP,若 在一个单连通区域 上恒成立，则曲线积分 与路径无关，从而我们可以选xyPDLdyxQyxP),(),(择平行于坐标轴的折线段 计算此曲线积分：CBACBACdyxQPd ),(),(,如图选择折线段作为积分路径：第 3 页Oxy(,)Aab(,)Ccb(,)Bcd利用方法一把这两个曲线积分 ， 分别化为两个定积分即可求出，即ACdxyP),(CBdyQ),(,)(,),(,(,)cdL abPxydQxy PtQct 若 在一个单连通区域 上恒成立，则曲线积分 与路径有关，可用格林公式
7、求DLyxyx,),解添补直线段 BC: 和 CA: ,则 与 BC，CA 构成一条封闭的曲线，记此闭曲线dytxac:tyaxbd:围成的平面有界闭区域为 。如图所示：DOx(,)Aab(,)Cad(,)Bcd利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得： CABCCABLL QdyPdyQdyPxdyxQyxP),(),(D ),(),(dtatdPdxybac ),(),(注：计算曲线积分的时候，一般先用方法一把曲线积分转化为定积分，当这个定积分不容易求解时，就改用方法二求解4、曲面积分的计算化曲面积分为二重积分1)第一类曲面积分(对面积的曲面积分) Sdzyxf),(步骤：将积分曲面 的
8、方程 改写为： ；S0),(zF),(yx画出积分曲面 在 面上的投影区域 ；xoyD第 4 页根据积分曲面 的方程写面积元素：S dxydxyzxdx2222 )(11化曲面积分为二重积分： xyyfSzyf xDS 22)(),(,),(2)第二类曲面积分(对坐标的曲面积分) SS dxyzRdzxyQdzyxPdzyxA ),(),(),(,方法一：（直接化曲面积分为二重积分）步骤：将积分曲面 的方程 改写为： ，并指明此有向曲面 取上侧还是下侧；0),(zF),(zS画出积分曲面 在 面上的投影区域 ；SxoyD化曲面积分为二重积分： S dxyzRdzxQdzyxP),(),(),(
9、 取 下 侧 时当 取 上 侧 时当 SdxyyxyxyxD yx1,),(,),(,),(, 特别地， 取 下 侧 时当 取 上 侧 时当xyyxRyxQyxPD yx ),(),(),(DS SdxyyxRdzxR取 下 侧 时当 取 上 侧 时当),(,),( 注：1）计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值；2）若此二重积分不好计算或是积分曲面是由几个部分组成，分区面做积分比较麻烦的时候可以考虑利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式分情况讨论：)若积分曲面 是一个取外侧的封闭的曲面，且 ， ， 及其偏导数在此闭曲面围成的S ),(zyxP),(zyxQ),(zyxR空间有界闭区域 上
10、连续，则由高斯公式有：dvzyxdzyxRdzyxQdzyxPS ),(),(),()若积分曲面 不是封闭的曲面，则不能直接利用高斯公式，一般需要添补平面 ： ，并指明S cz为 常 数所取的侧，使得 与 围成一个取外侧的闭曲面，记此闭曲面围成的空间有界闭区域为 ，从而： 第 5 页S dxyzRdzxyQdzyxP),(),(),( dxyzRdzxyQdzP),(),(),(（此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性）dxyzdvzRyx),(5、多元函数积分学的应用1） （用于求平面图形的面积）的 面 积Dd2） （用于求立体的体积）的 体 积V3） （用于求曲线的弧长）的 弧 长Lds14
11、） （用于求曲面的面积）的 面 积曲 面 S5）物理应用三、 无穷级数一） 常数项级数1、正项级数 的敛散性的判定1nu)0(n步骤：1) 做极限 ，若 ，则此级数发散；若 ，则 2)nlimlin 0limnu2) 根据一般项的形式选择适当的方法 判断其敛散性。根 值 审 敛 法比 值 审 敛 法 极 限 形 式 对 一 般 项 放 缩一 般 形 式比 较 判 别 法2、交错级数 或 的敛散性的判定1)(nnu1)(nu)0莱布尼兹判别法：找到 nu做极限 ，若 ，则此交错级数发散；若 ，则此交错级数收敛。nlim0linu10limnu3、判断一般项级数 是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝
12、对收敛？1n()n为 任 意 常 数解：1）判断 的敛散性， （注： 是一个正项级数）1nu1nu第 6 页2）若 收敛，则作结论： 收敛，且绝对收敛。1nu1nu3）若 发散，则还要讨论 本身的敛散性。1n1n1 1lim0nn nu u 若 ， 则 该 级 数 发 散一 般 是 个 交 错 级 数 ， 用 莱 布 尼 兹 判 别 法 判 定 其 收 敛 ， 从 而 收 敛 且 条 件 收 敛 。二） 幂级数1、 求幂级数 的收敛域。0nax（先求收敛半径 ，再讨论端点 处幂级数的敛散性）RxR2、 求幂级数 的和函数 。0nx()S1） 充分利用等比级数的求和公式及幂级数可用逐项求导或逐项
13、积分的性质，先求 ，再求 。0()()xStd或 ()Sx2） 利用幂级数展开式 ，计算系数中含有阶乘的幂级数的和函数 。0e(,)!nxx3、 将函数 用 的幂级数逼近或将 展开成 的幂级数()f fx方法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换求 的幂级数展开式；()f先求 的幂级数展开式，再利用幂级数可以逐项积分或逐项求导得性质求出 的幂级0()()xfftd或 ()fx数展开式。4、 将函数 用 的幂级数逼近或将 展开成 的幂级数()f0()fx0x方法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换将 展开成 的幂级数5、幂级数的应用用于求数项级数 的和1nu关键找数项级数 对应的幂级数 ，并求幂级数 的和函数 ，从而1nu0nax0nax()Sx。010()nnxuaS三） 傅里叶级数1、 已知 ，求 的傅里叶级数在点 处的和 。()f()f 0x0()Sx第 7 页2、 将 用傅里叶级数逼近。()fx
