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1、 探讨一类具有时滞的病毒模型的 hopf 分支摘 要：本文主要以时滞为参数，讨论一类具有时滞的病毒模型的 hopf 分支的存在性。关键词：病毒模型；时滞；hopf 分支1 引言生物体内存在着大量的病毒，病毒与抗病毒细胞的相互作用过程成为目前研究的焦点。bocharov g.a 建立起淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒感染与抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞反应的数学模型，tatyana luzyanina 在文献中利用数值分析的方法对 bocharov g.a 所建立的数学模型进行了分析，并得到了一个简化的数学模型：其中 v 表示淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒数量，ep 表示抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的预
2、兆因子的数量，ee（t）表示抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的效应器数量。各个参数代表的意义如下：bp 表示激活的抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的比率；bd 表示分化的抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的比率； 表示病毒的繁殖率；e0p 表示淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒与抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的平衡浓度；ep 表示抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的预兆因子的自然死亡率；ee 表示抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞的的效应器的自然死亡率；ve 表示由效应器导致的病毒的消亡率； 表示抗病毒的细胞毒性 t 淋巴细胞分裂的平均持续时间。tatyana luzyanina 在文献中对系统的持久性做了详细的研究
3、。众所周知，时滞会导致平衡点的失稳及周期解的产生。在本文，我们将以时滞为参数来研究其 hopf 分支问题。2 hopf 分支的存在性在本节，我们主要通过讨论系统（2）线性部分对应的超越特征方程的根的分布情况来分析正平衡点的局部稳定性。为了方便起见，我们记，x（t）=v（t） ，y（t）=ep（t） ，z（t）=ee（t） ，a=，b=ve，c=ep，m=bp，n=bd，l=ep，k=e0p，a=，b=ve，c=ep，m=bp，n=bd，l=ee，k=e0p，则系统（1）可转化为：很明显，系统（2）有唯一正平衡点 e0=（x0，y0，z0） ，其中，x0=，y0=，z0=。系统（2）在 e0 处
4、的线性部分为：所以方程（3）所对应的特征方程为：3+m22+m1+（n22+n1+n0）e-=0 （4）其中 m2=l+c，m1=lc，n2=-mx0，n1=al-mlx0，n0=alc.当 =0 时，方程（4）转化为：3+（m2+n2）2+（m1+n1）+n0 （5）直接计算容易知道：n00，m2+n20. 假设条件（h1）成立， （m2+n2） （m1+n1）-n00 成立，则由routh-hurwitz 准则，方程（5）的所有根均具有严格负实部。下面讨论方程（4）具有一对纯虚根的充分条件。假设i（0）是方程（4）的根，则：-3i-m22+m1i+（-n22+n1i+n0） （cos-is
5、in）=0 （6）分离实虚部得：m22=（n0-n22）cos+n1sinm1-3=（n0-n22）sin-n1cos （7）两式左右两端分别平方相加得：6+p4+q2+r=0 （8）其中，p=m22-n22-2m1，q=m12-n12+2n0n2，r=-n02，令 z=2，则方程（8）可记为z3+pz2+qz+r=0 （9）记 h（z）=z3+pz2+qz+r （10）引理 1 设 r0，且-p-0，若=p2-3q0，由引理 1（1）可知，方程（9）有唯一正根，若=p2-3q0，则有-p-0，从而由引理 1（2）可知方程（9）存在唯一正根。由上面分析可得如下：引理 2 方程（9）存在唯一的正
6、根。设方程（9）的唯一正根为 z0，则方程（8）有唯一的正根0=，由方程（7）易见： cos=因此，如果记k=cos-1（）+2k，k=0，1，2， （11） （下转第 33 页）（上接第 12 页）则有如下结论：引理 3 当 =k 时，方程（4）只有一对纯虚根i0。记 （）=（）+（）为特征方程（4）满足（j）=0，（j）= 的根。则如有下结论：引理 4 假设 h（z0）0 0.证明：对方程（4）两边关于 求导得：32+2m2+m1+2n2+n1-（n22+n1+n0）e-=（n22+n1+n0）e-即（）-1=+-从而有=h（z0）其中，=（n00-n203）2+（n102）2于是=sin
7、n=sinnh（z0）由于 h（z0）0，因此0。证毕。由上分面的分析结果，及文献 hopf 分支定理，我们有如下定理： 定理 1 如果条件（h1）及 hh（z0）0 成立，则有：（1）当 （0，0）时，系统（2）的正平衡点 e0 渐近稳定。（2）=k 是系统（2）的 hopf 分支值，即在 =k 附近系统（2）分支出小振幅的周期解来。参考文献：1bocharov g.a.modelling. the dynamics of lcmv infection in mice：conventional and exhaustive ctl responsesj. journal of theoret
8、ical biology，1998（192）：283-308.2tatyana luzyanina，et al.low level viral persistence after infection with lcmv：a quantitative insight through numerical bifurcation analysisj. mathematical bioscienceses.2001（173）：1-23.3aying wan，xingfu zou.hopf bifurcation analysis for a model of genetic regulatory system with delayj.math.anal.appl.2009（356）：464-476.4闻祖庥.泛函微分方程理论m.合肥：安微教育出版，1994：94-111.
