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1、1关于 Logistic 模型的倍周期收敛现象许 立 炜（南京邮电学院应用数理系 南京 210003）摘要：本文运用实验和归纳的方法，讨论了如何利用 Mathmatic 数学软件观察Logistic 模型的倍周期收敛现象以及对初值的依赖性，并从理论上解释了倍周期收敛现象。关键词：数学模型，数学实验，差分方程一引 言我们知道描述人口（或其它生物）在有限资源环境下增长的 Logistic 模型（I） （见文 1）0xttrdtm其中 表示 时刻的人口数， 表示自然资源与环境条件所能容纳的最大人xx口数。人口较少时的增长率可以看成常数，称为固有增长率，记作 ，本文中r.0r为了方便用计算机对问题求解
2、，本文考虑 Logistic 的离散模型，将（I）中的微分用差分形式表示，得模型（II）01xtxrhmkk )2.1(.取步长 （单位时间：年） ，则由（1.1）式整理得kmkxrx11令 （显然 ） ， ，得离散的 Logistic 的模型rbbkkxrX001 ,21,xrtXmkk )4.1(3.这是一个一阶非线性差分方程，无法直接求出其一般解 . 但对给定kXfk,0的初值 ，我们可以利用计算机很便捷地递推算出（1.3） 、 （1.4）式的数值解0.k二实 验 过 程21在 时，分别取初值 ， ， ，编程迭代 302b1.0X01.01.X次，观察数据的收敛性。下面是在 Mathma
3、tic 数学软件中的程序程序 1所得数据如下：迭 代次 数时1.0X时10.X时10.X1 0.1 0.10001 0.1000012 0.18 0.180016 0.1800023 0.2952 0.29522 0.2952024 0.416114 0.416131 0.416116 29 0.5 0.5 0.530 0.5 0.5 0.5改变程序 1 中 的取值，并且比较不同初值对应的迭代序列，可发现：b时，31b（1） 产生的迭代序列收敛于一点 ，且 随 的增大而增大；*X*b（2） 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。2将程序 1 中 改为 ，迭代 60 次所得数据如下：2
4、b.3迭 代次 数时10X时10.时10.X1 0.1 0.10001 0.1000012 0.288 0.288026 0.2880033 0.656179 0.656214 0.6561834 0.721946 0.721911 0.721942 56 0.799455 0.799455 0.79945557 0.513045 0.513045 0.51304558 0.799455 0.799455 0.79945559 0.513045 0.513045 0.51304560 0.799455 0.799455 0.799455观察表中数据可发现： 附近，2.3b（1）迭代序列有两个收
5、敛点；（2）初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。3将程序 1 中 改为 ，迭代 60 次所得数据如下2b5.迭 代次 数时10X时10.X时10.X1 0.1 0.10001 0.1000012 0.315 0.315028 0.3150033 0.755213 0.755249 0.755216 53 0.826941 0.826941 0.82694154 0.500884 0.500884 0.50088455 0.874997 0.874997 0.87499756 0.38282 0.38282 0.3828257 0.826941 0.826941 0.82694158
6、 0.500884 0.500884 0.50088459 0.874997 0.874997 0.87499760 0.38282 0.38282 0.382823观察表中数据可发现： 附近，5.3b（1） 迭代序列有四个收敛点；（2） 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。4将程序 1 中 改为 ，迭代 60 次所得数据如下24迭 代次 数时1.0X时10.X时10.X1 0.1 0.10001 0.1000012 0.36 0.360032 0.3600033 0.9216 0.921636 0.921604 55 0.673808 0.225312 0.0034502656
7、0.879163 0.698186 0.013753457 0.42494 0.842889 0.05425758 0.977464 0.52971 0.20525359 0.0881121 0.996469 0.65249760 0.321393 0.0140729 0.906979观察表中数据可发现： 附近，4b（1） 迭代序列不收敛；（2） 当迭代次数较高时，初值产生的误差对迭代结果产生很大的影响。5取 ，步长为 0.01，初值 ，作 Feigenbaum 图，观察倍周期4,8.b 5.0X收敛现象。程序 2所得图形如下8 2 4 8 4 4 6 8 观察图形可见：（1）当 时，图中可见
8、一条曲线，即迭代序列 有一个收敛点；3b kX（2）大约当 时，图中可见两条曲线，即迭代序列 有两个收敛点；5. k（3）大约当 时，图中可见四条曲线，即迭代序列 有四个收敛.4.点；（4）大约当 时，已无法看清图中的曲线分支。6.3b三理 论 证 明下面从理论上解释并证明上述倍周期收敛现象。4定理 1 当 时，差分方程（1.3）的平衡点 稳定；当 时，3b bX1*3差分方程（1.3）的平衡点 不稳定。bX1*证 由式（1.3）对应的代数方程 解得平衡点 ， ，令 ，由0*Xb1*Xf1，f b2知： 为不稳定平衡点（无实际意义） ；当 时， 为不稳定平0* 3b1*衡点；当 时， 为稳定平
9、衡点。31bbX1*定理 1 表明：当 时，对式（1.3） 、 （1.4）产生的迭代序列 ，无论kX初值如何取，都有 时， .kk记差分方程（1.3）式 为一般形式 ，则kXb1kkf1kkk ffXf 212 5.1定理 2 时，差分方程（ 1.5）式有两个稳定的平衡点49.3b.b3*2,1证 为了求差分方程（1.5）式的平衡点，可利用 Mathmatic 软件解对应的一元四次代数方程（程序略） XXfX1得其四个解， ， b231*2, 0*b1*4即为差分方程（1.5）式的四个平衡点。而 XffXf由定理 1 的证明知： ， 满足代数方程 ，所以有0*3b1*4Xf，12*33*3 b
10、ffff即 为差分方程（1.5）式的不稳定平衡点。0*3X类似地可证：当 时， 为差分方程（1.5）式的不稳定平衡点。bbX1*4又可利用 Mathmatic 软件验证点 ， 满足*2，*21f1*2f程序如下：5 D;1- H b f 因此有 *12*1*1 XfXffXf 22 而要使，11*2*21 XbXf只需将 代入上述不等式，解得 . 所以bX3*2,1 4936b时，差分方程（1.5）式有两个稳定的平衡点 ， .49.3b *1X2定理 2 表明：当 时，对差分方程（1.3） 、 （1.4）式产生的49.61迭代序列 ，无论初值如何取，都存在 ，使得k bX3*2,1时， ， .
11、k*12X*2k进一步考察差分方程 kkf4 6.1用类似的方法可得定理 3 时，差分方程（1.6）式有四个稳定的平衡点（只与5.39.b有关） 。r由上述三个定理，我们知道：Logistic 的离散模型 ，kkXrX11其中增长率 为常数，无论初值 如何取r0X（1） 当 时，迭代序列 有一个收敛点 ，使得20k*，此现象常称为单周期收敛；*1,Xk（2） 当 时，迭代序列 有两个收敛点 ， ，使得49.rk1X*2（或 ） ， （或 ）. 可1123,k *2X4,k *1X见从一次迭代的角度来看，数量增长是不稳定的，即没有极限；从两次迭代的角度来看，增长却是不稳定的，此现象常称为 2 倍
12、周期收敛；（3） 当 时，迭代序列 有四个收敛点，称为 4 倍周期收敛。54.9.rk参考 文献1 姜启源.数学模型. 北京：高等教育出版社,1998. About Multiple Periodic Convergence in the Logistic Model6Xu Liwei( Department of Applied Mathematics, Nanjing Institute of Postsand Telecommunications, Nanjing, 210003)Abstract In this paper, Experimentation and inductive method are used to study Multiple Periodic Convergence in the Logistic Model, and the interrelating proof is given.Keyword Mathematical Model , Mathematical Experimentation , Difference Equation
