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1、数学实验,第一章 软件初步,科学计算软件 MATLAB 初步,一、 MATLAB历史简介,MATLAB是集数值计算、符号运算（包括微积 分）、及图形处理等强大功能于一体的科学计算软件。作为强大的科学计算平台，它几乎能够满足所有的计算需要。在美国及其它发达国家的理工科院校里，MATLAB已经成为一门必修的课程。在科研院所、大型公司或企业的工程计算部门，MATLAB也是最为普遍的计算工具之一。,MATLAB 软件是在20 世纪70年代由新墨西哥大学计算机科学系系主任Cleve Moler在给学生开线性代数课的过程中研制的，最初它是一种专门用于矩阵数值计算的程序，他给这个程序取名为MATLAB，意为
2、“矩阵实验室”“Matrix Laboratory”，后来才发展成为全方位的科学计算软件。但数值计算仍然以矩阵的形式进行。,1984年，Mathworks公司成立，把MATLAB推向了市场。 再往后，它成了数学建模不可缺少的武器，并融进数学建模课程中，成为一个有机的组成部分。,由美国MathWorks公司开发,MATrix LABoratory,MATLAB软件历史总概,适合多学科、功能强大,高级课程的基本教学工具,MATLAB 功能,微积分：微分、积分、求极限、泰勒展开、级数求和 代数：求逆、特征值、行列式 、代数方程解的化简、数学表达式的指定精度求值 数值分析：插值与拟合、数值微分与积分、
3、函数逼近、代数方程和微分方程的数值解和符号解,可以做,统计计算：均值、方差、概率、参数估计、假设检验、相关性和回归分析、 统计绘图、随机数产生器等 优化问题的求解：线性规划、非线性规划等问题的求解 动态系统模拟,MATLAB 还可以做,（1）常用数学函数,二、 MATLAB函数与特定量,三角函数：正弦sin(x) 余弦cos(x)正切tan(x) 余切cot(x) 反正弦asin(x) 反余弦acos(x),其它： 绝对值或模abs(x) 符号函数sign(x) 取整函数（四舍五入取整）round(x) 直接取整fix(x),指数函数：e的x次幂 exp(x) 自然对数log(x) 常用对数
4、log10(x) 以2为底的对数log2(x) 平方根sqrt(x),（2）数组操作函数,最大值：max 最小值：min 求和：sum 求平均值：mean 按升序排列：sort,（3）矩阵函数,行列式：det(A) 逆矩阵：inv(A) 矩阵的秩：rank(A) 正交化：orth(A) 特征值与特征向量：d=eig(A) v,d=eig(A) n阶单位矩阵：eye(n) m行n列零矩阵：zeros( m,n),ans: 用于结果的缺省变量名 pi: 圆周率 inf: 无穷大 NaN: 不定式 i或j：虚数单位,（4）特定量,事实上，还有很多这样的命令，得根据需要学习和掌握，有的可以经过经常使用
5、得到掌握，有的可以查阅有关手册得到。,（5）数据显示格式,MATLAB命令 显示 说明 format short 3.1416 小数点后4位（缺省） format long 3.1415926 15位数字 format bank 3.14 小数点后2位 format + + 显示+ -或0 foamat short e 3.1416e+000 5位科学记数法 format long e 3.1415e+000 15位科学记数法 format rat 355/113 最近的有理数,三、数组的创建及数组运算,1) 利用first:increment:last来创建,起始值,步长,结束值,例：x=(
6、0:0.5:2),此方法直接定义数据元素之间的增量，而不是数据元素的个数，若增量为1，上面创建数组的方式可简写为：first:last,1.数组创建,请思考如何计算数组元素个数？,2) 利用MATLAB函数linspace 来创建数组,应用形式如下：,linspace(first,last,number),例：x=linspace(0,pi,12),这种方式是不知道步长，知道数据个数，可以而步长需要计算，步长又为多少？怎样计算的？,请回答！,格式：logspace(first_value,last_value,number) 创建一个从10first_value到10last_value包含n
7、umber个数组元素的数组。,3) 利用logspace函数来创建一个对数分隔的数组,例：logspace(0,2,4),4)其他创建数组的方法,列向量的数组例：x=1;2;3,x=1 3 4;2,3,5;3 2,4,空格或逗号分隔的元素指定的是不同列的元素，而以分号分隔的元素是指定的是不同行的元素。,2.数组的基本运算,（1）标量（单个的数）运算,加：+ 减：- 乘：* 除：/ 乘方：,（2）数组运算,设a=a1,a2,a3 b=b1,b2,b3 c=标量,数组加减：,数组点乘（除）：,数乘数组：,数组求幂：,c=a+b ;d=a.*b, e=a./b,f=b.a,g=a.2, h= a2,
8、i=a.b,例 ：已知：a=1 3 4; b=2 3 1;求,事实上,还可以作函数运算 j=exp(a) ,sin(a),这类函数只是相当于“点运算”,事实上，还有对数组整体运算的函数,最大值max,最小值min,求和sum,求平均值mean，按升序排列sort等函数,3.向量运算,1）向量的点积运算,向量A与B的点积：C=dot(A,B)要求A与B长度相同,a=-4.5 9,7,-2.8 3.5, 9.5 5.4, 7.3,max(a),M,iM=max(a),min(a), m,im=min(a),m=mean(a), ra,ri=sort(a),例：C=dot(A,B,DIM)表示向量A
9、与B在维数为DIM的点积,注意：max()和min()的两种格式的功能,A=2 4 5 3 1;B=3 8 10 12 13;C=dot(A,B,5) 运行结果为C = 6 32 50 36 13,A=2 4 5 3 1;B=3 8 10 12 13;C=dot(A,B),注意：i）点积与点乘的区别 ii）也可这样计算点积：sum(A.*B),注意： C=dot(A,B,5)改为C=dot(A,B,4)结果一样,运行结果为：C = 137,2）向量的叉积,C=cross(A,B）即就是C=AB要求A、B必须是为3个元素的向量,例：A=2 4 5 ;B= 3 8 10;C=cross(A,B)
10、C = 0 -5 4,法一）a=1 2 3;b=2 3 1; c=cross(a,b), d=c(:,1), e=c(:,2), f=c(:,3), area=sqrt(d2+e2+f2),近几年数学实验上机考题计算由两向量a,b组成的平行四边形的面积,法二）a=1 2 3, b=2 3 1, c=cross(a,b) d=sqrt(dot(c,c),3）向量的混合积,向量的混合积由上面的两个函数共同来实现,例：A=2 4 5 ;B= 3 8 10;C=0 -5 4; D=dot(A,cross(B,C) D = 41,还有其它方法没有？,注意：混合积有没有几何意义？有的话又是什么？,四、矩阵
11、的运算,1.矩阵的创建,MATLAB中不用描述矩阵的类型和维数，它们由输入的格式和内容决定，矩阵可以用排列各个元素的方法输入，同一行元素用逗号或空格分开，不同行的元素用分号或回车分开如,A=1 2 3;4 5 6 或A=1,2,3;4,5,6 或A=1 2 3 4 5 6,1)直接输入法,矩阵的元素可以用它的行、列数表示如,2）矩阵的修改,A(2,1) ans=4,或者说不指定变量，MATLAB将回应ans(answer的缩写）,a=A(2,1) a=4,矩阵在输入后一直保存在工作空间中，可随时调用，除非被清除或替代。可以直接修改矩阵的元素。如,A(2,1)=7 输入A(3,4)=1,这里得说
12、明原来没有3行，4列，MATLAB自动增加行列数，对未输入的元素赋值0。,3）特殊矩阵的生成,零阵,W=zeros(2,3),元素全为1的矩阵,U=ones(2,3),U=ones(3)方阵只消输入行数 对角线为1的矩阵V=eye(3,4) 输入单位阵 V=eye(4),4）矩阵的裁剪与拼接,除此之外还可以输入标准正态分布矩阵randn(m,n)或均匀分布rand(m,n)矩阵，n阶Hilbert矩阵hilb(n), 幻方矩阵magic(n),A(3,:) %A的第3行 A(:,2) % A的第2列 B=A(1:2,:) % A的第1,2行 C=B(:,2:4) % B的第24行） D=A(2
13、:3,2:2:4) % A的第2、3行，第2、4列,从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称为裁剪，MATLAB中“:”是非常重要的裁剪工具。,注意“:”的用法，A(1:2:3,4:-1:2),E=C,zeros(2,1) F=A(1:2,:);eye(1,4) G=C,ones(2);9,F(1,:),2.矩阵运算,1)加法：+ 减法：- 乘法：* 乘幂： 转置：/ 左除： AB=inv(A)*B 右除：/ A/B=A*inv(B),应注意标量与矩阵的运算的含义,E+3,a=1 2 0;2 5 1;4 10 1 c=1 2 4;2 5 10;0 1 1 d=a+b,e=a-b, f=c.*a
14、,a=1 2;3 5;2 6 b=2 4 1;8 9 0 c=a*b,A=1 0 1 2;-1 1 3 0;0 5 1 4 B=0 3 4;1 2 1;3 1 1;-1 2 1 C=A*B,A=1 1;-1 -1 B=1 1;-1 1 C=A*B D=B*A,仍要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等，再如：高等代数 教材P171,A=1 -1 2 B=2 -1 0;1 1 3;4 2 1 A,B A*B (A*B) B*A,2)转置、逆运算及行列式运算,例： 北大p175, A=0 1 2;1 1 4; 2 -1 0 inv(A),P192,P86,D=2 1 -5 1;1 -3 0 -6
15、 ;0 2 -1 2;1 4 -7 6 B=8 9 -5 0 X=inv(D)*B X=DB,注意： 1）对矩阵的除法运算有两个左除“”和右除“/”。 2）矩阵的除法与逆运算解方程组的实质不一样，其算法有区别的。以后将学习。,A=21 34 20;5 78 20;21 14 17;34 31 38 B=10 20 30 40 X=BA A=21 34 20 5; 78 20 21 14; 17 34 31 38 B=10 20 30 X=BA,A=246 427 327；1014 543 443；-342 721 621 B=3 1 1 1;1 3 1 1;1 1 3 1;1 1 1 3 det(A) det(B),P98,特征值和特征向量,例P293,A=1 2 2;2 1 2;2 2 1 B,C=eig(A),A=4 -3;2 1 norm(A) norm(A,1) norm(A,2) norm(A,inf),4)矩阵的范数运算数值计算方法P50,5）矩阵的条件数计算方法
