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1、3-4 考虑摩擦时的平衡问题,3-3 简单的刚体系统平衡问题,3-2 简单的空间力系平衡问题,第 3 章 静力学平衡问题,3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程,平面一般力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。,3-1 平面力系平衡条件与平衡方程,一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程,因为,平面一般力系的平衡方程 （基本形式）,独立平衡方程只有三个,为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方程简写为,上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零
2、。,求解力系平衡问题的方法和步骤。,（1）选取研究对象；,（2）分析研究对象受力，画受力图；,（3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可能每个方程中只有一个未知量。,（4）求解未知量，分析和讨论计算结果。,图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均不计。试求A和B处的支座约束力。,解： (1)选AB 梁为研究对象。 (2)画受力图如右图所示。,例题 3-1,(4) 列平衡方程,解得,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解得：,例1,求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,P,q,FAy,FAx,MA,例题 3-2,平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架
3、平 面内。A处为固定端约束。若图中q、FP、M、l 等均为已知，试求: A处的约束力。,q,l,l,l,2l,M,例题 3-3,解：1.选择研究对象。,2 受力分析,画出受力图如图所示。,FP,A,3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程, Fx = 0, MA= 0，, Fy = 0,由此解得,A,2,二力矩式 （AB不垂直于x轴）,二、平面一般力系平衡方程的其它形式,=0,三力矩式 (A、B、C三点不共线),=0,求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解得：,P,q,m,FB,FAy,FAx,例题 3-4,因为,平面汇交力系的平衡方程,三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方
4、程,1.平面汇交力系的平衡方程,平面力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和。 M=Mi,2.平面力偶系的平衡方程,平面力偶系的平衡方程,M=Mi=0,图示平面刚架的支反力。,解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,由几何关系,解得,例题 3-5,解：1. 取滑轮B 连同销钉作为研究对象。,2. 画出受力图,利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B (图(a) )。不计滑轮的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。,例题 3-6,3. 列出平衡方程：,4. 联立求解，得,反力FAB 为负值，说明
5、该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。,折杆AB的支承方式如图所示，设有一力矩数值为M的力偶作用在折杆AB上，求支承处的约束力大小。,解：,例题 3-7,由 Mi=0,工件上作用有三个力偶如图所示。已知：M1= M2= 10Nm， M3 =20Nm，固定螺栓A和B的距离l=200mm。求两光滑螺栓所受的水平力。,例题 3-8,解：取工件为研究对象、画受力图。,由 Mi=0,解得,不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?,例题 3-9,解: 取杆AB为研究对象画受力图。,杆AB只受力偶的
6、作用而平衡且C处为光滑面约束，则A处约束反力的方位可定。,FA,FC, Mi = 0,FA = FC = F,AC = a,a F - M1 = 0,M1 = a F (1),取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。,FD,FC,FD = FC = F, Mi = 0,- 0.5a F + M2 = 0,M2 = 0.5 a F (2),联立(1)(2)两式得:M1/M2=2,39页， 习题 112 81页 习题 31 （a) (b) 85页 习题 3-18,作 业,1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平
7、衡方程就能解出全部未知量。,3-3 简单的刚体系统平衡问题,一、刚体系统静定与静不定的概念,2、静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。,约束反力数 m 独立平衡方程数 n,静不定的次数为： k=m-n,二、刚体系统的平衡问题的特点与解法,1. 刚体系统：由几个刚体通过一定的约束方式联系在一起的系统。,返回,2.求解刚体系统平衡问题的一般方法和步骤,弄清题意，标出已知量,选整体为研究对象画受力图，列平衡方程,检查结果， 验算,选局部为研究对象画受力图，列平衡方程求解。,注意： 力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任
8、一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。,方法一：整体,局部,弄清题意，标出已知量,选局部为研究对象画受力图，列平衡方程,检查结果， 验算,再选局部为研究对象画受力图，列平衡方程求解。,方法二：局部,局部,注意： 力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。,图a所示铰接横梁。已知荷载q，力偶矩M 和尺寸a，试求杆的固定端A及可动铰B、C 端约束力。,2-4 物体系统平衡问题,例题 3-10,2-4 物体系统平衡问题,研究方法 一: 整体到局部,1.取整体为研究对象,2. BC 梁为研究,1、 BC 梁为研究,研究方法二: 局部
9、到局部,2-4 物体系统平衡问题,1、再以AB梁为研究对象,1m,如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链A联结，再用铰链B和C固结在两岸桥墩上。每一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点D和E点。桥上载荷P=20KN。求A、B、C 三处的约束力。,C,3m,B,P,4m,1m,P1,P1,4m,10m,A,D,E,例题 3-11,解：,1.取整体为研究对象,解得：,1m,C,3m,B,P,4m,1m,P1,P1,4m,10m,A,D,E,2.取AC部分为研究对象：,解得：,1m,C,3m,B,P,4m,1m,P1,P1,4m,10m,A,D,E,梁 ACB 如图。 梁上起重小车重 W
10、= 50kN，吊重 P = 10kN，求A、B处的约束力。,由(1)知，FAx=0。 剩余两个方程中含3个未知约束反力，不足以求解。,列平衡方程： Fx=FAx=0 -（1）,解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。,例题 3-12,MA(F) =MA+12FBy-4W-8P=0 -（3）,Fy=FAy+FBy-P-W=0 -（2）,2)小车为研究对象，列平衡方程：,Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN,MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN,将FBy代入(2)、(3)式，求得：,MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN,FAy=P+
11、W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kNm,例12,两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。,M,FBy,FBx,FCx,FCy,解: (1) 取BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反。,例 题 3-13,(2) 取CD分析,F,FCx,FCy,FDx,FDy,求得结果为负说明与假设方向相反。,M,q0,FCx,FCy,FAy,MA,FAx,(3) 取AB、BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反，即为
12、顺时针方向。,87页 习题 326 （a) (c) (d) 87页 习题 3-27,作 业,静摩擦力的大小随主动力的情况而改变。,1. 静滑动摩擦力, 作用点:, 方向:,2-6-1 滑动摩擦力, 大小:,接触面。,沿着接触面的公切线与相对滑动趋势方向相反。,一、滑动摩擦定律,2-6 考虑摩擦时的平衡问题,静摩擦,动摩擦,2. 最大静摩擦力,库仑摩擦定律， 1781年，由法国库仑总结。,静摩擦因数。由材质及表面条件定。,3. 动滑动摩擦力, 方向:,动摩擦因数, 大小:, 作用点:,接触面。,沿着接触面的公切线与相对滑动方向相反。,二、摩擦角与自锁现象,（4） 静止时主动力合力与全反力二力平衡
13、。,（3）摩擦锥，,1. 摩擦角,（1） 全反力 ：静滑动摩擦力与法 向约束力的合力。,全反力与法线的最大夹角。,如图所示,（2）摩擦角,因,所以,2. 自锁现象,如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。,如果全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。,3.测定摩擦因数的一种简易方法，斜面自锁条件,自锁条件：,2-6 考虑摩擦的物体平衡,三、考虑摩擦时的平衡问题,仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同,2 严格区分物体处于临界、非临
14、界状态；,3.因 ，问题的解有时在一个范围内。,1 画受力图时，必须考虑摩擦力；,A,O,M,C,F1min,e,a,L,2）制动杆受力如图。,1）取轮O研究，画受力图。,解：讨论 F1 最小而制动，摩擦 力最大的临界状态。,刹车装置如图。块C与轮间摩擦因数为 f，求F1min。,有平衡方程 MO(F)=M-Fmaxr=0 得到 Fmax=M/r,有平衡方程 MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0 摩擦方程 Fmax=f FN; FN=M/fr 代入后求得 F1min=(Ma/fr-Me/r)/L =M(a-fe)/frL,r,例题 3-13,图示悬臂可沿柱滑动, 摩擦因数为 f。为
15、保证卡住，试确定力 Fo 的作用位置。,解： 悬臂为研究对象，画受力图。,临界状态 x=xmin；有： Fx=FND-FNA=0；,悬臂卡住：,而与Fo无关。,Fy=FA+FD-Fo=0,解得： FNA=FND=Fo/2f, xmin=h/2f.,MA(F)=FNDh+FDd-Fo(xmin+d/2)=0 及 FA=fFNA , FD= fFND,例题 3-14,长为 l 的梯子 AB 一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为 fs。梯子重量为 W，重心在梯子的中间。今有一重为 G 的人沿梯子向上爬，已知梯子与地面的夹角为，求梯子不致下滑人的活动范围；如果要保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与地面的夹角。,l,x,A,B,G,W,例 题
