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1、1辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 利用图形计算器研究圆锥曲线圆锥曲线作为高中数学学习中的重点也是难点， 于是我们小组的成员利用图形计算器对椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的定义以及其中的一些性质作深刻的研究。椭圆一 问题引入数学课本椭圆一章的引语这样写道：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜，运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的可书本上并未给出这一性质的证明，于是，我们组就利用图形计算器展开了探究。二 探究过程 由于是研究椭圆，我们自然选择了“双曲线”这一功能，选定椭圆的标准方程(XH) A+(Y K) B1为了方便数
2、据处理，我们将圆心定在坐标原点，即 H=K=0。在这里，我们又将 A 设为2，B 设为 1.5。画出如下图象 -并确定了焦点，可随后我们发现，我们要研究反射，就还需要切线“入射光线” ， “反射光线” ，而这些在此功能中很难呈现出来。于是，我们又转而用“几何”功能进行探究。由于此功能中并不能直接画出椭圆，所以，我们只能将标准方程变形后以 F（X）的形式分两段画出“椭画” 。数据方面，我们就沿用了前一次的数据，得到的方程与图象为：Y=（ 2.25-2.25/*X2）Y=-（2.25-2.25/*X 2）由于两次椭圆的数据相同，所以我们又回到“双曲线”功能中，在第一次画出的椭圆里轻松找到了两个焦点
3、（1.322 ,0） ， （-1.322 ,0）并在“几何”中，应用 VARS 键定位了两个点的坐标，A（1.322 ,0） ，B（-1.322 ,0） ，就视2为焦点。接着，在圆周上任取了一点 C，并以 C 为切点，作出了椭圆的切线然后，用线段连接 CA，又以切线为轴，对 CA 使用了“反射” ，本以为会直接出反射线呢，谁知竟出了个轴对称 C A，我们只有再作出 CA的反向延长线了。这里，我们选用了“平行”这一功能-过 C 作出 CA平行线，实质上也能达到目的。哈，按下确认键后，我们看到了期待已久的画面：通过相对严密的作图过程，我们所画出的“反射线” ，正好穿过了另一个焦点 B。组内有人提出
4、，这样光用肉眼来判断很不严谨。于是我们准备用代数方法来验证这一结论还是刚才的图，我们用 VARS 键察看了切线的方程为 Y=-0.433X1.73 C 点坐标（-1，-1.3 ）A（1.322，0）B（ -1.322，0） 。于是，我们得到了 BC，DE 的方程BC：0.322Y+1.3X+1.7186=0所以 其斜线率 KBC=-0.4.373AC：2.322Y-1.3X+1.7186=0KAC=0.560且切线 EF 中，K EF=-0.433我们将 K 用 tan 来表示为了在图中表述方便，tan 值全部取正 ,即直线与 X 轴所成的锐角的 tan 值我们令|K BC|=tan 1=4.
5、037|KEF|=tan 2=0.433|KAC|=tan 3=0.560不难看出 BCE= 2 1|tanBCE|=|tan( 2 1) |1.3114ACF= 3+ 1|tanACF|=|tan( 3+ 1) |1.3108在误差允许的范围内，可确定 BCE=ACF即 CB 是 AC通过切线 EF 反射后的线那么，到此，我们算是真正证明了这一个性质由一个焦点射出的线经椭圆反射后必定通过另一个焦点。双 曲 线一、问题引入夹克上衣是大家熟悉的，衣服上的拉链拉开或闭合时，都能形成一条曲线，它就是双曲线。我们已经学过直线与圆，它们都能够用一个方程表示，而后对它们的研究转至方程的讨论了。我们可以利用
6、图形计算器和一些数形结合思想来研究他的性质。二、研究过程双曲线的第一定义： 平面内与两个定点 F1，F2 的距离差的绝对值是常数（小于F1F2）的点，M 的轨迹叫做双曲线，两定点叫做双曲线的焦点。利用图形计算器的几何功能可作出图：4以 F2 为圆心作半径大于 12 F1F2 的圆，另作半径不同的圆 1、圆 2、圆 3使它们都与圆 F2 外切且过点 F1，用曲线连接它们的圆心可看出它们圆心的轨迹为双曲线的一支。用定义证明：设轨迹上的一个圆 O，圆 O 切圆 F2 于 E 则 OF 2-OF1=OF 2-OE=圆F2半径已知圆 F2半径为定值，故圆 O 圆心轨迹为双曲线双曲线第二定义对于第二定义，
7、我们结合一个普通证法和计算器作图来理解：定义：（x, y)与定点 F(c,0)的距离和它到定直线 , ,求点 M 的轨迹解：设 d 是点 M 到直线 L 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：由此得 将上式两边平方，并化简，得设 ，就可化成 这就是双曲线的标准方程，所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴，长轴长，虚轴长分别为 2a,2b的双曲线。由图可知：当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e 是椭圆的离心率。渐近线双曲线渐近线我们可以这样来理解：在 形式的图象中象中取一点（横坐标为无限大）设为 X1
8、，在此点处取切线，从图象可看出此切线与原点距离可忽略。我们可用图形函数作图分别作：Y1=25/49x-25Y2=-2549 x-25合并图象为：5在这里取上述原方程的 a 为 7，b 为 5我们让此图缩小 4 次，作切线取 X=100 时 Y=71.25335653Y71.25切线斜率为 0.713我们用“圆锥曲线”来验证F5渐近线斜率为0.714我们再还原成一般形式则 Y1=bx2/a2-16Y2=-bx2/a2-1A,b 为定值 X 趋向于无穷，则相当于 x2/a2 来说趋于 0则 Y=bx2/a2-0=b/a xb=5 a=7 斜率为0.714抛 物 线一、问题引入从初中开始，我们就已经
9、初步接触到了抛物线，我们以二次函数的形式对抛物线有了初步的认识，也知道了抛物线的一些基本性质，现在，运用图形计算器这一方便的机器，我们再次探索抛物线之中的奥秘，让大家看见一个全新的抛物线。二、研究过程什么是抛物线？在平面直角坐标系中，用 yax bxc 来表示的函数图象就是我们首次接触的抛物线，当然，也就是我们说的二次函数。可是现在，这个解释已经不能满足我们小组对抛物线研究的需求，于是，我们寻找到了一个更为高级的定义：平面内与一个定点 和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线，定点 不在定直线 上。研究椭圆，我们利用了椭圆的标准方程进行特殊化计量
10、，用图形计算器完成了研究，以此类比，聪明的同学们应该已经发现它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率 e）不同，当 e1 时为抛物线，当 01 时为双曲线。（PS:离心率即椭圆两焦点间的距离和长轴的比值，用 e 来表示，即 e=c/a (c 为半焦距，a 为半长轴) ）同样的，抛物线也有标准方程, 抛物线的标准方程有四种形式，参数 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：7其中 为抛物线上任一点。现在，让我们正式开始此次对抛物线的专项研究。确定研究标准方程：X22PY,(P=2)在抛物线外一条直线 y=-1 上取任意一点 B，过此点作抛物线的切线，易知过此点
11、的切线一定存在斜率且不为 0。8连接两切点 C、D，猜想这条连线有没有什么特殊性质，尝试后我们惊讶的发现，此连线恒过点（0,1） 。由此我们大胆猜想，在直线 y=-b 上任取一点，作两切点连线，连线恒过点（0，b）最后，我们的尝试证明了我们的结论，在此因版面问题不便插入过多图片。我们通过结合图形计算器和一些数学方法，对圆锥曲线有了更深的认识。这次探究活动中，我们研究了 CASIOfx-CG20 计算器的功能及其应用，由于课题选择比较成功，组员们积极参加了活动，趣味性的题目为大家开放了较大的思想空间，所以课题进行的比较轻松。我们在这次活动中，充分感受到了集体力量和合作精神的强大，我们将会在以后的学习和生活中，更加积极的与同学们展开合作学习，合作探究活动，我相信，我们定会取得更大更丰硕的
