矩阵及其运算 好书

《矩阵及其运算 好书》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵及其运算 好书（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第 3 章 矩阵及其运算3.1 基本要求、重点难点基本要求：11掌握矩阵的定义.22掌握矩阵的运算法则.33掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.44掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.5 5 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.66掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法.重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解.难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法.3.2 基本内容3.2.1 3.2.1 重要定义定义 3.1 由 nm个数 )2,1;,(njmiaj 组成的 m行 n列的

2、数表成为一个 行 列矩阵，记为 mnmnaa 212112简记为 Aij)(，或 )(ij, nmA,注意行列式与矩阵的区别：（1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表.（2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同.（3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.（4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5） （5） 当 0|A时， |1有意义，而 A1无意义.nm的矩阵叫做 n阶方阵 或 m阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号

3、，它在运算中可看做一个数.对角线以下（上）元素都是 0 的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是 0 的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是 1 的 n阶矩阵叫 阶单位矩阵，常记为 nE（或 I） ，简记为 E（或 I） ，元素都是 0 的矩阵叫零矩阵，记为 nm0，或简记为 0.行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.设有矩阵 A= nmija)(，则 Anmija)(称为 A的负矩阵.若 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为

4、方针 的行列式，记为 |或 Det.将矩阵 的行列式互换所得到的矩阵为 的转置矩阵，记为 TA或 .若方阵 满足 T，则称 为对称矩阵，若方阵 满足 ，则称A为 反对称矩阵.若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若 A= nmija)(是复矩阵，则称矩阵 nmija)(（其中 ija为 ij的共轭矩阵，记为 ij.定义 3.2 对于 阶矩阵 ，如果存在 n阶矩阵 B，使得 EA，则称方阵 可逆， B称为 的逆矩阵，记做 1A.对于方阵 Anmija)(，设 ij的代数余子式为 ij，则矩阵* nmnA 212121称为 A的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元

5、素的位置.定义 3.3 设有矩阵 ，如果：（1） （1） 在 中有一个 r阶子式 D不为零.（2） （2）A中任意 r阶子式（如果有的话）全为零，则称 是矩阵 A的一个最高阶非零子式，数 称为矩阵 A的秩 ，记为 R)(A.定义 3.4 初等变换与初等方阵：（1） （1） 初等变换：变换矩阵的某两行（记为 jir） ；把非零数k乘以矩阵的某行的所有元素（记为 0,krj） ；把矩阵的第 i行的 h倍加到第j行上（记为 ijhr）.以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换.矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换

6、.例如：变换 jir的逆是其自身，变换 jkr的逆变换为 irk1变换 ijhr的逆变换为ijh)(.初等变换的性质：若矩阵 A经有限次初等行（列）变换为 B，则 A的行（列）向量组与 B的行（列）向量组等价.若矩阵 经有限次初等行（列）变换为 ，则 的任意 k个列（行）向量与 B中对应的 k个列（行）向量有相同的线形相关性 .（2） （2） 初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.初等方阵共分三种，它们是： Eji,， ki， Eij,.它们与单位矩阵的关系是：Ejir ji,，或 jic ji,，ikr ，或 )(kik 0jir i,，或 Eji

7、c i,容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.初等矩阵皆可逆，且 E1,ji= ji,， 1ki=1i， Eikj,=Eikj,初等方阵的性质：若 A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 t21P, ，使 t21,PA.nm矩阵 B等价的充要条件是存在 m阶可逆方阵 和 n阶可逆方阵 Q，使 PQ.3.2.2 3.2.2 重要定理定理 3.1 对矩阵施行一次初等行（列）变换相对于左（右）乘一个同类型的初等矩阵.例如：若 BAjir ，则 Eji,BA；若 Bjic ，则Eji,= ；若 ijkc ，则 ik,= ；等等.定理 3.2 方阵 可逆的充分必要条件是：（1） 0|A，且*|A1.（2）

8、可以表示成一些初等矩阵的乘积.若方阵 可逆，则 的逆阵唯一，可逆阵也叫做非奇异矩阵或称为满秩矩阵，否则称为奇异矩阵或降秩矩阵，非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异的，奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异的. n阶方阵 A的秩 Rn)(的充要条件是： 0|A，即 可逆.任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵.定理 3.3 对矩阵施以初等变换，不改变矩阵的秩.若矩阵 经有限次初等变换为 B，则称 与 等价，记为 B.若 A，则 RA= B对任何 nm矩阵 ，可通过初等变换成阶梯形矩阵，进一步可化成行最简形矩阵，再通过初等列变换可化成一个即是行最简形又是列最简形的矩阵，即所谓的标准形，设矩阵 的秩

9、RrA)(，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以0rEA，其中 r是 阶单位矩阵.定理 3.4 （线性方程组有解的判定定理）（1） （1） 非奇次线形方程组 bxAnm有解的充要条件是 RA=RA，当 = RAn时，方程组有无穷多解；当是 = n时，方程组有惟一解；当 时，方程组无解 .（ 为系数矩阵，为增广矩阵.）（2） （2） 齐次线形方程组 0xAnm一定有零解；如果 RAn，则只有零解，它有非零解的充分必要条件是 R.3.2.3 3.2.3 主要运算11矩阵的运算法则：（1） （1） 加法法则：AB（加法满足交换律） ； CB)(A)(（加法满足结合律） ； 0A)(； A；若 CB，则

10、BA（移项法则）.以上运算法则说明了矩阵相加、减的运算有类似于初等代数中相加、减的运算法则，矩阵相加、减是不难掌握的，只有注意矩阵间是否可以相加、减就可以了.（2） （2） 数乘矩阵的运算法则： ABAAA )(,)(,)(,1 ，其中,表示数， 、 B表示同型矩阵.注意： 0，则 或 0；或 且 0，换句话说：若 是零矩阵，则数 是 0，矩阵 是零矩阵至少有一个成立 .（3） （3） 矩阵相乘的运算法则： CAB)AC,()A( （矩阵乘法对加法满足分配律） ；BC)（矩阵乘法满足结合律） ； )()()(AB， （乘法满足数因子的结合律）.说明：1） 1） 左边矩阵 A的列数必须与右边矩阵

11、 的行数相等才能相乘.矩阵乘法不满足交换律，也就是说 B不一定成立，若 成立的话，则称 A， B可交换.2） 2） 显然有 nmnmn,AEE，当 是方阵时，有nnnE.这就是说单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的乘法中的作用.要注意： 2)B(A是错误的，正确的写法应是2E)(BA，同样可知 E)CA(BC.3） 3） 按矩阵乘法的定义，只有方阵才能自乘，故若 A是 n阶方阵，定义： k(,1k2是整数）当 ,0|为整数时有A)(,由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个 阶矩阵 A与 B，一般来说 kk)(B.4） 4） 伴随矩阵的运算法则：*1*1* )(,)(,)(,| A

12、BAE5） 5） 方阵行列式的运算法则：|,|,| BAAnT其中 A、 B市同阶矩阵， 是任一数， n是 A的阶数 .6） 6） 转置矩阵的运算法则：()(,)( TTT是任一数） ，A(,.7） 7） 逆矩阵的运算法则：11)(BA；若 ,0可逆，则TTAA)()(;1)( 1.8） 8） 共轭矩阵的运算法则：k(,是任一数） ， TBB)(, .22分块矩阵的运算:(1)(1) 将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块，以这些小块为元素的矩阵称为分块矩阵.(2)(2) 分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则，只是进行运算的矩阵的分块要恰当.(3)(3) 分块对角方阵.若方阵 A的分块矩阵只有在主对

13、角线上有非零方阵子快 ),21(siA，而其他子快都是零，即 sA002则 A称为分块对角方阵，分块对角方阵 A的行列式|21s.3.2.4 3.2.4 重要方法本章研讨的是矩阵运算，因此凡矩阵定义、矩阵运算的定义、矩阵运算法则等等，都是重要的，应很好地掌握，只是有些较容易掌握，可少花时间和精力；有些较困难，应认真对待，多做练习，多思考，仔细钻研范例，注意每一个特殊点.1 1 矩阵的运算方法：（1） （1） 以矩阵乘法为纲.矩阵运算有些是较简单的，如矩阵的线性运算、转置等，而矩阵相乘就较困难了，可以这样说，有关矩阵乘法的运算掌握好了，其他的矩阵运算也就不在话下.因此对初学者来说，遇到矩阵乘法，

14、就应该多留心.（2） （2） 边学习，边积累，逐步提高.这一章有很多定义（要重视定义！） 、很多运算，每种运算又有若干条运算法则，一开始掌握不了那么多，应该学一点积累一点，直到全部掌握.例如：已知 4321,0BA，计算行列式 |)3(|21BA.如果先算出 3，再算出 1)(及 2，算出矩阵乘积 ，最后计算行列式；这样比较麻烦，而且易错，如果利用方阵则行列式的性质就简单多了.因 |,18)(|,8|,2|2 BAA，所以 |)3(|21BA9|)3(|21B.2 2 化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵以及标准行的方法：一定要能熟练地用初等行变换化一个矩阵成为阶梯矩阵（或行最简行）矩阵，因为求逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组等都要用到这样的方法.3 3 求逆矩阵的方法：（1） （1） 用定义求. 用存在方阵 B，使 EA，则 1B.此法要求对矩阵乘法比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可直观看出满足条件的 B（只要验证 EA或 B一个即可）.（2） （2） 用*1|A，其中 *是 的伴随矩阵.要注意 2 阶矩阵求伴随矩阵的口诀：“主换位，副变号.”例如，设 dcbaA，则 ac