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1、本科毕业论文（设计、创作）题目： 矩阵环的单侧理想 学生姓名： 冯兆东 学号： A00914178 院（系）： 数学科学学院 专业：数学与应用数学 入学时间： 二九 年 九 月导师姓名： 葛茂荣 职称/学位： 副教授 导师所在单位： 数学科学学院 完成时间： 二 一三 年 六 月矩阵环的单侧理想摘要本文将证明: 若 是一个单环, 则 是单环 ; 若 是一个有单位元的环，则nMRR一定是单环,并给出了主理想环 上的矩阵环 的全部理想的形式以及上三nRIMI角形矩阵环一类理想的构造方法.讨论了实数域上矩阵环中的单侧理想、伪理想、双边理想, 给出了它们的结构和性质。关键词：矩阵环；单环；理想；伪理想
2、; 双边理想The oneside ideal of matrix ringAbstractThe paper proved that R is single ring if is single ring, is single ring if R is nMRnRsingle ring ,gave all ideal form of matrix ring with chief ideal I and an structural method Iof all ideal of upper triangular matrix. In this paper, oneside ideal, Pseu
3、do ideals and ideals in matrice ring on real number field are discussed, the structure and characters is given.Key words: matrix ring; single ring;ideal; Pseudo ideal; ideal目 录第一章 前言 .11.1 矩阵理论的发展史 .11.2 引言 .11.3 矩阵环的定义 .2第二章 矩阵环 .22.1 单环 .22.2 单环与有单位元的环的关系 .4第三章 矩阵环的理想形式 .43.1 主理想环 I上的矩阵环 nMI的理想 .4
4、3.2 n 阶上三角矩阵环的一类理想的构造方法 .4第四章 矩阵环中的单侧理想 .64.1 单侧理想及伪理想 .64.2 双边理想 .8主要参考文献 .10致 谢 .111第一章 前言1.1 矩阵理论的发展史根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于 19 世纪 50 年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。1850 年，英国数学家西尔维斯特 (SylveSter，1814-1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时
5、，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855 年，英国数学家凯莱 (Caylag，1821-1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858 年，凯莱在矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878 年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws，1849 一 1917)在他的论文
6、中引入了 矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个 矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879 年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念.矩阵的理论发展非常迅速，到 19 世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20 世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。1.2 引言我们知道，域 上的线性空间 是定义了加法与乘法运算的一种代数系统。PV除以上两种运算外，如果还定义了一个乘法运算，并且满足分配律与结合律，称这样的代数系统 是一个结合代数，简称 是一个代数。实数域 上的
7、全阵V R环 中的理想只有平凡理想. 本文来讨论其中的广义理想. 本文中的一nMR切记号见2,特别是文中反复使用的 表示第 行第 列的元素为 1, 其余元ijEij素为 0 的 阶方阵, 左理想和右理想的概念见1 .21.2.1 理想的定义定义 1.2.12：非空子集 称为代数 的一个理想，如果WV对加法和数乘运算封闭；iW对 ，一切形如 及 的元素的有限和都属于 。,wvwvW注：如果把 改为一切形如 的元素的有限和都属于 ，称 为代数 的一i V个左理想，类似定义 的右理想，把左理想（或右理想）称为单侧理想。V设 是数域， 是 上 矩阵的全体， 上定义了三种运算：矩阵PnpPnnp加法，数
8、乘矩阵，矩阵乘法，因此， 不仅是一个 维的线性空间，还是p2上的一个有限（维）结合代数。本文的目的是刻画出 的所有单侧理想。n定义 1.2.2:环 的理想 叫做一个极大理想，如果 并且对于 的每一个RMMR理想 ， 或 。NNR1.3 矩阵环的定义定义 1.3.12：设 是环， 上一切 阶方阵关于矩阵的加法和乘法形成一n个环，叫做 上的矩阵环，记为 。环 自身和 （记作 ）显然为 的理想。除 和 以外的其他理想叫R0R0做 的真理想。一个环可能没有真理想，这样的环叫单环。定义 1.3.21: 设 是环 ， 是 的非空子集 。 中包含的一切理想的XR交集仍是 的一个理想 ，叫做由 生成的理想 ，
9、记为( )。由一个元素 生Xx成的理想( )叫做主理想 。如果一个环的每一个理想都是主理想 ，则称这个x环为主理想环。3第二章 矩阵环2.1 单环对单环的研究我们先提出下列问题：问题 1：如果 是单环,那么 是单环吗？nMRR解答：设 是单环, 假设 有真理想 ,A( ), ( ) , ( ) - ( ) ,ijaijbnAijaijbnM( ) , 令( ) ( )( ),ijxRijcijxij因为 , 所以 ( ) ( ) .ijcnk1ikjxaijijanA同理可证 ( )( ) .ijijnMA所以 是 的一个理想.nAnR又 是 的真理想, 所以存在 , 但 ,rRrA所以 阶方
10、阵 .n0.0.0rnM所以 是 的真理想, 这与 是单环矛盾, 故 是单环.nMAnRnRR因此得到 定理 2.1.14 若 是单环,则 是单环。n问题 2：如果 是一个有单位元的单环, 那么 一定是单环吗？nM解答：设 是一个单环且有单位元, 假设 有真理想 . 令RRB,1,abij klAabBkln成 立,ijij klmha设4符号 表示第 行第 列位置的元素为 1, 其余位置的元素均为 0 的方阵.ijEij则 ( ) , ( ) ,所以 - (1kija11EB1mijb1hE1Ba1Eb1- ) ,bB所以 - .A, 因为 , 其中, ,rIR11rEaBEni1i所以 .
11、 同理可证 .a所以 是 的一个理想.由 的构造方法及定理 2.1.1 的证明可知 。AnMA再证 是 的一个真理想. 若 不是 的一个真理想, 则 ,RAR1，使 ,则 ( ) = , 于是 . ijaB1klaikEijljiEBEni1iB从而 , 与 是 的真理想矛盾.nMn所以 是 的一个真理想, 这又与 是一个单环矛盾. 故是 一个单环.ARRnMR用符号 表示环 的全部理想作成的集合, 符号 表示 的全部理)(想作成的集合.因此得到 定理 2.1.23 若 是一个有单位元的单环, 则 一定是单环。RnR推论 若环 有单位元, 是 的理想, 则 :A 是 到 的一AMA)(Rn一映
12、射.证明: 由定理 2.1.1 的证明, 易证 是单、满射.2.2 单环与有单位元的环的关系问题：若 是一个有单位元的环, 且 中存在非零不可逆元,那么 是不是单环?RRR解答：因为 , 又 是一个有单位元的交换环,10xx且易证 是 的一个真理想.r所以 不是单环.因此得到 定理 2.25 若 是一个有单位元的单环, 且 中存在非零不可逆元, 则 不RRR是单环.推论 设 是一个有单位元的单环, 且 中存在非零不可逆元, 则 不是nM5单环.证明：由定理 2.2, 不是单环. 再由定理 2.1.1 和定理 2.1.2， 不是R nMR单环。结论：当 是一个有单位元的非交换环时, 定理 2.2 不成立。例如: 域 上 阶矩阵环 是有单位元的非交换环, 它是一个单环.FnnMF第三章 矩阵环的理想形式3.1 主理想环 上的矩阵环 的理想InI我们有如下结论 7:(1) 有真理想, 且它的全部理想形如:nMI, 其中 是 的主理想.AijnijaIArI(2) 是 的极大理想当且仅当 是 的素元.n3.2 n 阶上三角矩阵环的一类理想的构造方法用符号 表示环 上的一切 阶上三角矩阵对于矩阵的加法、乘法作成MRn的环. 我们要证明 不是单环, 并构造它的一类理想.n设 , 令 .Dn ,0ijmlADmldD且 有定义:如果 , 则称集合 具有 性,
