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1、1矩阵不等式的扩充与某些性质学生姓名 张旭东 指导教师 温瑞萍（太原师范学院数学系14011班 山西太原 030012）【内容摘要】 本文扩充了矩阵不等式的定义，突破了在矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，并进一步讨论，证明了矩阵不等式的某些性 质。【关键词】 正定矩阵 矩阵不等式 nR 交换引言 对于n阶实对称矩阵A，如果对任意的x nR，且x0,都有 0Ax，则称A为正定矩阵，记为A0；如果对于任意x nR，都有 0Ax，则称A为半正定矩阵，记为 ；如果对任意的x nR，且x0，都有 x，则称A为负定矩阵，记为A0，则称A大于B（或称B小于A） ，记作AB（或B0，则称A大于B（或称B小
2、于A） ，记作AB（或B0 2)(BA= =120 3)(BA= 402=320 1)(BAA-B0 即AB。这里当n为1时，所定义的不等式便是实数不等式，当n大于或等于2时，所定义的不等式便与一般不等式有所不同，这里的大于或小于仅是一种记号，表示正定或负定，是矩阵中的一种偏序，而不是一般意义下的大小。如任意两个实数总能比较大小，但任意两个n阶矩阵不一定能比较大小。因为，首先对于任意的n阶矩阵A，B。A-B便不一定是对称矩阵。就算A-B是对称矩阵也不一定能比较大小。如：A= B= A-B= 30211021显然A-B不是对称矩阵，当然不能判断正定。A= B= A-B= 10 201A-B是对称
3、矩阵但由于 1)(BA=-1 2)(=1 A B或B A均不成立。引理 ：设A，B，C，D nR，且K(A)=K(B)=K(C)=K(D),则231）A B (AB) kAkB (kAkB) k0kAkB(kA0 A+B034）A B B AA=B5）A B B C A C6）A B C D A+CB+D7）A B BC AC8）A0 (A 0) B0 (B 0)且AB=BA,则AB0(AB 0)9）A B A+C B+C由引理3的性质1） 可得A，B 则，则A B-A-BnR由引理3的性质4） 可得A ，则A 0 A 0A=0定理4：设A，B n，则AB的充要条件是：对任意n m列满秩矩阵P
4、都有 BPA。证明：必要性 )(BP=p)(= )(= )( x mR,x0 由于P列满秩 Px0xA= )(xA此即 B充分性 P 即 x mR,x0 xBPAx0 0)(xP由于 p的任意性知 A-B0即 AB引理 ：设A，B，C，D ,则25nR1)如果AB, C0，且AC=CA, BC=CB,则 ACBC；如果AB, CB0, CD0,且有AC=CA, BD=DB, AB=BA或BC=CB,那么ACBD。3)如果A0,则 。01定理6:如果A,B A,B0且AB=BA,那么 。nR BAn)(Nn证明:充分性:A0,B0,且AB 由引理3的2)可知 必要性: (A-B) 0 nBA0n
5、 )( 121nnnA由于A0,B0 则可知 0 )(21AB从而 存在。21 )( nnn式两边同乘以 ,则可得A-B0,即AB。121 )( nAB定义:设 0,则 = ; B或A 。0BA0ABAB2证明:由于 或 , 且 ,所以 ,则存在唯一正定矩阵 ,使0C,所以 有意义。2CABC2而由定理6知ABABABAB204)(4)( 222 定理9:对于任意n阶正定矩阵A,存在唯一正定矩阵B,使A=B k,kN。证明:由于A是正定矩阵,从而存在唯一正定矩阵C,使A=C 2。 由数学归纳法可易证存在正定矩阵B,使A=B k2。对于正定矩阵A和B,如果A=B k2,则称B为A的2k次方根，记
6、为B= kA2。推论:对于A 1, A 2,A n0,Ai 不完全相等,且可互相交换，则有),1(nnn2121 性质1:设A是n阶不对称矩阵,B=- ,则如A在两等号的特征值,AB或BA不成立。证明:显然可知：A-B即 - 是对称矩阵。设A的两特征值分别为 21,且 0,211相对应的一特征值向量为 x, 0则 02)()()( 1111111 xxxAAxB 不成立。相对应的一特征值向量为 , 22x0则 02)()()( 22222 xxxAAxBAx 不成立。性质2:设A,B,C为n阶正定矩阵,且可相互交换,并且可排序,求证。ABCCABCA6)()()( 222 证明:由于B,C可排
7、序.所以有 又 02)(2同理 ABCACB2 ABC2)(26)()( 225性质3:设A,B为n阶正定矩阵,并可相互交换,并且可排序,则有 。223ABA证明: )()(223ABA= 3= 2)(B由于 0A0BA由于A,B可排序 或 则 0)(2BA0)(2B即 (3AA22性质4: ,并可相互交换,可排序,则 。0,CB ABCA33证明:由例3可得 223B同理可得 3223C)(2A22A= )()()( 2ABBC=6ABA33由于矩阵的乘法不满足交换律,并且任意的n阶矩阵也不一定能比较大小,这里的矩阵顺序与一般实数的顺序有所不同,但两者之间又有一定的相似之处。以上，只探讨了矩
8、阵不等式的一些基本性质和基础知识, 并扩充了矩阵不等式的定义。矩阵不等式的知识有待以后继续探讨。参考文献1北大数学系 高等代数 高教出版社 19872南京航天航空大学 矩阵论 科学出版社 20006THE EXPANSION OF MATRIX INEQUALITY AND SOME CERTAIN QUALITIESStudent Zhang Xudong Teacher Wen RuipingThe department of math of Tai Yuan Teachers College Tai Yuan Shan Xi 030012Abstract This paper studi
9、es the expansion of matrix inequality, breaking through the restriction that the matrix in matrix inequality must be symmetric matrix, and in this part ,I discuss and testify the some qualities of matrix inequality. Key words positive definite matrix matrix inequality exchangenR评语：论文观点正确，概念清楚，结构合理，层次分明，作者将矩阵不等式的定义做了扩充，性质做了一些推进性讨论，已具备独立研究的基本能力。
