《高考数学导与练（理）-第十三篇 不等式选讲(选修4 5)-第2节 证明不等式的基本方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学导与练（理）-第十三篇 不等式选讲(选修4 5)-第2节 证明不等式的基本方法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2节证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法题号用比较法证明不等式2用综合法、分析法证明不等式1,4用反证法、放缩法证明不等式31.(2016全国卷)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.(1)解:f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-2x-1,即-1x-12;当-12x12时,f(x)2恒成立;当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1,即12x1,所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1
2、b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|b0,求证:a2-b2a2+b2a-ba+b.证明:法一a2-b2a2+b2-a-ba+b=a3-b3-ab2+a2b-a3+b3+a2b-ab2(a2+b2)(a+b)=2a2b-2ab2(a2+b2)(a+b)=2ab(a-b)(a2+b2)(a+b),因为ab0,所以a-b0,ab0,a2+b20,a+b0.所以a2-b2a2+b2-a-ba+b0,所以a2-b2a2+b2a-ba+b.法二因为ab0,所以a2-b2a2+b20,a-ba+b0,ab0,所以a2-b2a2+b2a-
3、ba+b=a2-b2a2+b2a+ba-b=(a+b)2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b21.所以a2-b2a2+b2a-ba+b.3.(2015湖南卷)设a0,b0,且a+b=1a+1b.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.4.已知函数f(x)=1+x2,设a、bR,且ab,求证:|f(a)-f(b)|a-b|.证明:法一|f(a)-f(b)|a-b|1+a2-1+b2|a-b|(1+a2-1+b2)2(a-b)22+a2+b2-2(1+a2)(1+b2)a2+b2-2ab1+ab-1时,式(1+ab)2(1+a2)(1+b2),所以2aba2+b2. 因为a、bR,且ab,所以式成立.故原不等式成立.法二当a=-b时,原不等式显然成立;当a-b时,因为|1+a2-1+b2|=|(1+a2)-(1+b2)|1+a2+1+b2|a2-b2|a|+|b|(a+b)(a-b)|a+b|=|a-b|,所以原不等式成立.
