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1、第一章 随机事件及其概率,第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式,概率论与数理统计课程教学团队,第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式,一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、小结,一、条件概率,问题的提出： 1) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：第1个人中彩的概率为多少？ 第2个人中彩的概率为多少？ 2) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：已知第1个人没摸中， 第2个人中彩的概率为多少？,引例 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个， 已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.,则 P(B) =32/39=2/9.,解: 设 A = 第一个取到次品，则A为样本空间。
2、 B = 两个都取到次品，利用等概率公式：,定义1 对于事件A、B，若 P(B)0，则称 P(A|B)= P(AB)/ P(B) 为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率. 注：若 B 已发生，为使 A 也发生， 则此样本点必属于A B ， B成为了新的样本空间.,容易验证，条件概率满足以下性质： 1、对于事件A，有 0P(A|B)1； 2、对于必然事件S，有P(S |B) =1； 3、若事件A1，A2 ，An ，两两互不相容，则有 P(A1A2 An |B)= P(A1|B)+ P(A2|B )+ + P (An |B).,1)用定义：P(A|B)= P(AB)/ P(B)； 2)减缩样本
3、空间：将 S减缩为S= B，在B中 计算A的概率.,计算条件概率P(A|B)的方法,例 1 掷两颗骰子，记 B = “两颗骰子点数相等”，A = “两颗骰子点数之和为4”，求 P(A|B).,解: 样本空间 S =(1,1),(1,2),(1,6), (2,1 ),(2,6)， ，(6,6), B =(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6), A =(1,3)，(2,2)，(3,1), A B =(2,2). 于是 P(A|B)= P(AB)/ P(B)=(1/36)/(6/36)=1/6 .,另解：减缩样本空间 S= B = (1,1)，(2,2)，(3,3)，
4、 (4,4)，(5,5)，(6,6)， 而 B 中只有一个样本点(2,2)属于A， 所以 P(A|B)= 1/6 .,则 P(B|A) = P(AB) / P(A) = (7/30) / (3/10) = 7/9 .,例2 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放 回地抽取两个， 已知第一个取到次品，求第 二个取到正品的概率.,解: 设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到正品，,乘法公式； 全概率公式； 贝叶斯公式.,条件概率的三大公式,二、乘法公式（概率的乘法定理） (1) 若 P(B)0，则 P(AB) = P(A|B ) P(B) ； 若 P(A)0，则 P(AB) = P(
5、B|A) P(A) . (2) 若 P(A1A2)0， 则 P(A1A2 A3) =P(A3|A1A2 ) P(A1A2 ) =P(A3|A1A2 ) P(A2| A1) P(A1 ) .,乘法公式的应用： 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 例3 一批零件100个，其中10个不合格品，从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.,解：记 Ai=“第i次取出的是不合格品”， Bi=“第i次取出的是合格品”，依题意： P(B1B2A3) = P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2) = (90/100)(89/99)(10/98)=0.0825 .,三、全概率公式,定义2
6、 设S是样本空间，B1，B2， ，Bn为一组事件. 若BiBj =，（ij，i，j=1,2， ，n） 且B1B2 Bn = S .则称事件组B1，B2， ，Bn为S的一个划分（或称完备事件组） . 特别地，事件A与其对立事件构成一个完备事件组.,引例.一箱中混装有3个厂生产的同类产品,知:,任取1件,求取到次品的概率.,A,S,A1,A2,A3,1厂占有1/2,次品率为2%,2厂占有1/4,次品率为2%,3厂占有1/4,次品率为4%,定理 设S是样本空间，事件组B1，B2， ，Bn为S 的一个划分，且P(Bi ) 0，A为一事件，则有 P(A) = P(A|B1) P(B1) +P(A|B2)
7、 P(B2) + +P(A|Bn) P(Bn) ，并且称此式为全概率公式. 证明：由 A = A S = A (B1B2 Bn ) = AB1AB2 ABn ， 由假设进而得到 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+ +P(ABn )= P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + +P(A|Bn) P(Bn) .,注： 全概率公式用于求复杂事件的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来 “分割”样本空间； 全概率公式最简单的形式：,例4 设10 件产品中有 3 件不合格品，从中不放 回地取两次，每次一件，求取出的第二件为 不合格品
8、的概率. 解： 设 B = “第一次取得不合格品”， A = “第二 次取得不合格品”.由全概率公式得：,= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9) = 3/10 .,例5 三个电池生产车间A1，A2，A3同时普通电池和高性能电池，一小时总产量为600只，各车间产量如下表： 车间 普通电池 高性能电池 共计产量 A1 200 100 300 A2 50 150 200 A3 50 50 100,随机抽取一只电池，求它是高性能电池的概率.,解：以H表示高性能电池，易知车间A1， A2， A3是S 的一个划分，且有 P(A1)= 300/600=1/2， P(A2)= 200/600=1/
9、3，P(A3)=100/600=1/6， 又 P(H|A1)=100/300=1/3， P(H|A2)=150/200=3/4，P(H|A3)=50/100=1/2 . 由全概率公式得 P(H)= P(H|A1)P(A1)+ P(H|A2)P(A2) + P(H|A3)P(A3)= 1/2 .,例.一箱中混装有3个厂生产的同类产品,知:,任取1件,求取到次品的概率.,A,S,A1,A2,A3,解:,:”取到产品属于k厂”,设A:”取到次品”,1厂占有1/2,次品率为2%,2厂占有1/4,次品率为2%,3厂占有1/4,次品率为4%,设,称A1 A2 A3 是S的1个3划分,A,S,A1,A2,A
10、3,例: 一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白球的概率.,易知,例:袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取出两个（不放回）,求两个都是红球的概率.,解:设A1=第一次取得红球,A2=第二次取得红球. P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)(1/4)=0.1 或者用古典概型求解：,练习:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解法1:设Ai=透镜第i次落下未打破(i=1,2,3),B=透镜落下三次而未打破,则B=A1A2A3,故有 P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200,例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,四、小结 1、条件概率的定义及计算； 2、概率的乘法公式及其应用； 3、复杂事件全概率公式的应用.,教材P23：8,12,13,作 业,
