《数学建模思维》ppt课件

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1、第四节 数学建模,上海立信会计学院 邓桂丰,1. 引言,2. 数学模型,3. 模型构建,4.模型构建的迭代性质,我们想了解现实世界中的某些行为或现象，希望对该行为与现象的未来做出预测并分析各种处境对该行为的影响。,观察到的行为或现象,模型、数学运算以及规则、数学结论,数学建模,数学世界,图1：现实世界与数学世界,现实世界,1. 引言,获取有关现实世界的结论的方法：,注：创建了初略模型，应用适当的数学分析导出有关的结论。注意到这些结论只属于该模型，而不属于所研究的真正实际系统。考虑到在构建模型时做了某些简化以及基于模型的观察误差和局限总是会有的，因此，在做实际行为的任何推断之前，必须仔细考虑这些

2、异常。,实际行为,模型,数学的结果,现实世界的结论,观察、简化,分析,解释,试验,图2,对照上述认知方式有以下粗略的建模过程：,给定某个实际系统，收集足够的数据来形成一个模型。其次分析该模型并得到有关该模型的数学结论。然后阐明该模型并做出预测或提供解释。最后，对照着新的观察和数据，检验有关实际系统的结论。,实际问题的数据,模型,数学结论,实际的预测或解释,简化,分析,解释阐明,验证,图3：作为封闭系统的建模过程（粗略步骤）,系统：由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系联结在一起的对象的集合体。,数学模型：为了研究特定的实际系统或现象而设计的数学结构，图示、符号、模拟和实验结构都包括在内。,感兴

3、趣的现象,数学表示,行为的重复,模型构建,模型选择,实验,模拟,图4：模型的大致区分（按研究方法）,2.数学模型,有些数学模型专门来构建研究一种特定现象的。,有些现有的数学模型与某个特定的实际现象是一致的。从而可以用来研究该现象。,有些问题过于复杂，或者问题涉及因素众多，我们试图通过做各种实验性的试验来直接重复该行为，在试验中收集数据并在此基础上用统计和曲线拟合的方法，可能得到某些结论。,在其它情形中，我们可能试图间接地复现该行为。比如飞机设计中的风洞试验、模拟种群的相互作用及污染的全局影响等。,模型的三个性质：,模型的三个性质：,保真性：模型表示现实的精确性；,模型的三个性质：,保真性：模型

4、表示现实的精确性；,成本：建模过程的总费用；,模型的三个性质：,保真性：模型表示现实的精确性；,成本：建模过程的总费用；,灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力。,模型的三个性质：,保真性：模型表示现实的精确性；,成本：建模过程的总费用；,灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力。,实际观察,实验,模拟,构建的模型,选择的模型,保真性,模型的三个性质：,保真性：模型表示现实的精确性；,成本：建模过程的总费用；,灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力。,实际观察,实验,模拟,实际观察,实验,模拟,构建的

5、模型,构建的模型,选择的模型,选择的模型,保真性,成本,模型的三个性质：,保真性：模型表示现实的精确性；,成本：建模过程的总费用；,灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力。,实际观察,实验,模拟,实际观察,实验,模拟,模拟,实验,构建的模型,构建的模型,构建的模型,选择的模型,选择的模型,选择的模型,现实世界,保真性,成本,灵活性,图5：各类模型之间的比较,在上述讨论中我们把建模看作一个过程并且简要考虑了模型形式及特点。下面致力于数学模型的构建的介绍，结合一个简单的实际问题说明建模的各个步骤。,3.模型的构建,例1：车辆的停止距离 考虑经常在美国的某些司机培训班

6、上给出的下列规则： 规定正常的驾驶条件下车与车之间的跟随距离的要求是车速每增加10公里每小时，与前车距离应增加一个车身的长度。但是在不利天气或道路条件下要有更长的跟随距离。做到这一点有一个简便的“两秒法则”，即而不管车速如何，看见你前车经过某一标志开始，默数2秒钟后你才到达同一标志； 如果2秒之前你已到达，说明你车速太快。 很容易执行上述法则，但该法则有什么好呢？,第一步：识别问题(将现实问题表述成数学问题),什么是你要探究的问题？通常是困难的一步，在现实生活中，没有人会只是简单地给你一个待解决的数学问题。,通常你要从大量的数据中搜索以及识别所研究问题的某些特定的方面；此外，考虑要把描述问题的

7、口头陈述“翻译”成数学的符号表示，因此在阐明问题时要足够的精确是十分重要的。,第二步：做出假设,一般来说，不能指望在一个合用的数学模型中抓住影响问题识别的所有因素。通过减少所考虑的因素数目进行化简，再进一步假设相对简单的关系，就能降低问题的复杂性。主要有以下两个方面：,对例1分析：我们的最终目标是检验这条法则以及在它失灵时提出另一条法则。但是问题陈述-该法则有多好呢？-是含糊不清的。我们需要更多的细节并清楚地说明问题，或者提出一个新问题，该问题的解决和回答有助于在允许进行更为精确的数学分析的同时实现我们的目标。考虑新的问题陈述：预测具有不同车速的车辆刹车的总的停止距离。,a.变量分类：什么事情

8、影响到第一步中所识别的问题的行为？把这些事情作为变量列出来。模型寻求解释的变量是因变量，可以有几个因变量。余下的是自变量。有两个理由忽略某些自变量。,（1）这个变量影响可能相对较少；,（2）以几乎相同方式影响各种选择的因素可能可以忽略，可能融入到另一个分开的改进模型的因素中。,b.确定研究中所选择的变量之间的相互关系：在经过上述简化后，可能问题还过于复杂。在这种情况下要研究子模型，即分别研究变量中的一个或几个，最后再把子模型合在一起。,对例1分析：假设 总的停止距离=反应距离+刹车距离 反应距离：从司机意识到要停车的时刻到真正刹车的时刻期间车辆所走过的距离。 刹车距离：从制动器开始起作用到车完

9、全停止所滑行的距离。,对例1分析：假设 总的停止距离=反应距离+刹车距离 反应距离：从司机意识到要停车的时刻到真正刹车的时刻期间车辆所走过的距离。 刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停止所滑行的距离。,反应距离=f(反应时间，速率),对例1分析：假设 总的停止距离=反应距离+刹车距离 反应距离：从司机意识到要停车的时刻到真正刹车的时刻期间车辆所走过的距离。 刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停止所滑行的距离。,反应距离=f(反应时间，速率) 反射本能 个体驾驶因素 警觉程度 反应时间 能见度 车辆的操作系统,对例1分析：假设 总的停止距离=反应距离+刹车距离 反应距离：从司机意识到要停车的

10、时刻到真正刹车的时刻期间车辆所走过的距离。 刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停止所滑行的距离。,反应距离=f(反应时间，速率) 反射本能 个体驾驶因素 警觉程度 反应时间 能见度 车辆的操作系统,刹车距离（影响因素）：车重、车速、制动器作用力、车胎的类型和状态、道路的表面的情况、天气条件,对例1分析：假设 总的停止距离=反应距离+刹车距离 反应距离：从司机意识到要停车的时刻到真正刹车的时刻期间车辆所走过的距离。 刹车距离：从制动器开始起作用到车完全停止所滑行的距离。,反应距离=f(反应时间，速率) 反射本能 个体驾驶因素 警觉程度 反应时间 能见度 车辆的操作系统,刹车距离（影响因素）：车

11、重、车速、制动器作用力、车胎的类型和状态、道路的表面的情况、天气条件,刹车距离=h(车重，车速),第三步：求解或解释模型,对例1：反应距离 dr=trv （tr:反应时间，v：速度） 再考虑刹车距离，那就要考虑刹闸的基本原理。假定慌慌张张地停车在整个停车过程中作用的是最大刹车力F。刹闸基本上是一种能量-耗散设备，即刹闸作用在车辆上使之损失部分动能而造成速度的变化。,刹闸所做的功是力F与刹车距离ds的乘积。这个功等于动能的变化m v v /2。即ds与速度v v的平方成正比。这就需要实际观察数据来验证与确定刹车距离的子模型，这就过渡到下面的第4步。,对第三步评述：常常会发现为完成这一步，可能会得

12、到一个不会求解或不会解释的难于处理的模型。碰到这种情形，应该回到第2步并做出另外的简化假设。有时甚至要回到第1步去重新定义问题。这一点将会在下面建模迭代性质中讨论中进一步阐明这一点。,第四步：验证模型,在能够应用该模型之前，必须检验该模型。在设计这些检验与收集数据之前要问几个问题。 第一：该模型是否回答了第一步中识别的问题，或者是否偏离了我们构建该模型的关键问题？,第二：该模型在实用意义下有用吗？ 第三：该模型有普遍意义吗？,一旦通过了上述常识性的检验，就要利用由经验观察得到的实际数据来检验模型。更确切地来说，通过收集到得数据来证实模型的合理性。,关于从任何检验中得出的结论都要小心。特别地，不

13、能从收集到的特殊的数据来推出广泛的一般结论。,第五步：实施模型,模型做出来是来用的，且要用决策者和用户能懂的术语来解释模型是否对他们有用。再加上额外的一步，即为推进运作模型所必须的数据的收集和输入，往往决定了模型的成败。,对例1分析：在求解和验证模型的基础上，为了真正解决这个实际问题。我们要提出另一种易于理解和使用的经验法则。我们得到了关于总停止距离d的模型： d=1.1v+0.054v v 通过计算得到：速率（英里/小时） 指示的时间（秒） 0 10 1 10 40 2 40 60 3 6070 4,第六步：维修模型,模型从第一步识别的特定问题和第二步所做的假设推导出来的。原先的问题会有任何

14、的变化吗？某些先前忽略的因素会变得重要吗？子模型中的一个需要调整吗？,上述六步构建模型的过程就像任何的模型那样，只是一个近似的过程因而具有局限性。在实际中很少将建模过程看成是由导致有用结果的离散步骤组成的。我们先谈谈该过程的方法论的优点。,下面我们就将构建数学模型的步骤总结成一张表，结合表来谈优点。,第1步： 识别问题 第2步： 做出假设 a. 识别变量并对变量进行假设 b.确定变量与子模型之间的相互关系 第3步： 求解模型 第4步： 验证模型 a. 表述了问题吗？ b. 在通常的意义下有意义吗？ c. 用实际数据来检验该模型 第5步: 实施模型 第6步 : 改进模型,上表所示过程集中了研究问

15、题的方法，体现了创造性和建模过程中所用的科学研究方法的不同寻常的融合。,尽管这些步骤包含了一定程度的创造技巧，我们还是要学习评估特定变量的重要性以及所假设的关系的精确性的科学方法。,尤其是建模的头两步更具艺术和原创的性质，它们包括抽象出问题本质特征，忽略被判定为不重要的因素及做出有助于回答由原问题提出的议题的足够精确的关系的假设。这些关系必须简单到能够完成后面的几步。,科学研究方法：,第1步 对现象做一些一般性的观察 第2步 形成关于现象的假设 第3步 研制检验该假设的一种方法 第4步 收集用于该检验的数据 第5步 利用数据来检验假设 第6步 肯定或拒绝该假设,建模过程与科学研究方法的对比：,两个过程的不同之处： 科学研究方法中收集证据的目的是用来确证模型的；建模过程的目标是假设一个模型，而不是肯定或拒绝该模型（因为所做简化的假设，我们知道该模型不是精确的）。收集数据来检验它的合理性。我们可以决定该模型是相当满意和有用的，从而接受它