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1、基本不等式,a,b,1、正方形ABCD的 面积S=,、四个直角三角形的 面积和S =,、S与S有什么 样的不等关系？,探究：,SS即,问：那么它们有相等的情况吗？,(ab),猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：
2、要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分析法,问题二,证明不等式：,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直
3、于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意
4、从不同角度认识基本不等式,（1）如果a，b0，且abP（定值），那么 a+b有最_值_(当且仅当_时取“=”）. （2）如果a，b0，且abS （定值），那么 ab有最_值_(当且仅当_时取“=”）.,2. 利用基本不等式求最值问题：,小,大,利用基本不等式求最值的条件：,一正、二定、三相等。,一知识要点,a=b,a=b,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,（ a0，b0）,注意,1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值
5、）。,一正 、二定 、三相等,（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？,（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？,ab=36,当a=b=6时，和a+b最小为12,a+b=18,当a=b=9时，积ab最大为81,是解决最大（小）值问题的有力工具。,【应用练习】,例题讲解,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,二、利用基本不等式求函数的最值,2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是 。,练习： 1、当x0时， 的最小值为 ，此时x= 。,2,1,3、若实数 ，且 ，则 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、,4、在下列函数中，最小值
6、为2的是（ ） A、 B、 C、 D、,D,C,例4、 求函数 的最小值,构造积为定值，利用基本不等式求最值,思考：求函数 的最小值,构造和为定值，利用基本不等式求最值,例5、已知 ，求 的最大值,练习： 已知 且 ，则 最大值是多少？,例题1 (1)求函数 的最小值;,(2)已知 ，求函数 和 的最大值;,思考题,2. 若 0x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,题型一 分式形函数的最值求法,典例剖析,分析: x+(1-2x) 不是 常数.,2,=1为,当且仅当 时, 取“=”号.,例2. 若 0x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.,小结：,求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个重要的不等式,1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值,4 已知x0,y0,且x+2y=1,求 的最小值,2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值,练习题：,当x=6,y=4时,最小值为48,最小值为8,3.已知x0，求函数 的最大值.,
