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1、数学归纳法及其应用举例,一.由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法，通常叫做归纳法.,举例说明: (1)等差数列通项的推导;,二.数学归纳法:,1.适应范围:某些与正整数有关的数学命题.,2.数学归纳法的解题步骤：,(3)下结论:由以上可知对于n取第一个值 后面的所有正整数也都成立.,象这种证明方法叫数学归纳法,3.数学归纳法的应用：,（1）恒等式例1例2例3,（2）不等式,（3）三角方面,（4）整除性例4,（5）几何方面例5,（6）计算、猜想、证明,假设n=k时，等式 成立，就是 那么， =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 这就是说，如果n=k时等式成立，那
2、么n=k+1时等式也成立。 能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？,同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立,数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到哪些变形手段？,、 、 、 等变形手段。,复习巩固、小结提高,（1）如下证明对吗？,证明：当n=1时，左边,右边,等式成立。 设n=k时，有,思考小结,乘法公式,因式分解,添拆项,配方,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,既然不对，如何改正？,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,（2）分组练习P66 1、2、3,（3）小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项
3、：, 明确初始值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。,可明确为：,重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。,作业布置 P68 习题2.1 3、4题,课堂小结,我们在学习等差数列时，是这样推导首项为a1，公差为d的等差数列 an 的通项公式的,a1 a1+0d a2 a1+d= a1+1d a3 a2+d= a1+2d a4
4、 a3+d= a1+3d ,容易验证 a1=1，a21，a31，a4=1，由此得出结论,不完全归纳法与完全归纳法,不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。,例题2 用数学归纳法证明,证明： （1）当n=1时，左边121，右边 等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,例3 用数学归纳法证明,1）第一步应做什么？此时n0= ，左 右,2）假设n=k时命题成立，即,144,1,
5、当n=2时，左 ，右 。,2(21)2,当n=k时，等式左边共有 项， 第(k1)项是 。,k,1427,(K1)3(k1)1,思考？,3）当n=k+1时，命题的形式是,4）此时，左边增加的项是,5)从左到右如何变形？,证明：,（1）当n=1时，左边144，右边1224，等式成立。,（2）假设当n=k时，等式成立，就是,这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,例4 用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除（若ABC，则A能被B整除）,（1）当n=1时， x2-y2(x+y)(x-y)， x2-y2能被x+y整除。 （2）假设当n=k(kN*)时， x2k-y2k能被x+y整除。那么 X2(k+1)-y2(k+1)x2 x2k -y2 y2k x2 x2k - x2 y2 k + x2 y2 k -y2 y2k x2 ( x2k - y2 k ) + y2 k (x2 - y2k ) 这就是说，当时n=k+1时X2(k+1)-y2(k+1)能被x+y整除。 根据，可知命题对任何n N*都成立,
