《统计规律性》ppt课件

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1、第七章 统计规律性 混沌 熵与信息,科学由事实构成，就像一所房子由石头构成一样。但是，事实的堆砌不是科学，正如一堆石头不是房子。 彭加勒,版权所有 复制必究,高等教育出版社,两条线索,宏观物体到微观粒子的 运动规律,电磁场和波的运动规律,统一起来,波粒二象性,对宏观物体的热学性质的研究,热力学（宏观理论）：有限体积的宏观系统处在平 衡态下的宏观性质。,统计物理（微观理论）：从微观角度研究宏观系统 的性质。,从微观上看，宏观物体是由大量做无规则热运动的微观粒子组成的，尽管对每个粒子而言，运动似乎无规律，但从总体上看，在大量偶然事件中存在必然，即存在统计规律性。由此可以通过解宏观量与微观量的关系，

2、阐明热力学定律的统计意义。,7.1 力学中的机械决定论,你知道牛顿、开普勒等人为什么要从事科学研究吗？ 出于对自然的好奇？ 为了拿到博士学位？ 为了养家糊口？ 仅为了这个做不出这么大的成绩 为了全人类？ 到底为什么呢？ 为了敬畏上帝，证明上帝创造这个 世界之完美！,牛顿,不止这么简单,那是你的想法,还没那么崇高,牛顿力学中只要知道力和初始条件，以 后的运动状态就全都知道了。这就是机械决 定论，即牛顿的因果性原理。例如单摆。 对力学机械决定论的第一次冲击是19世 纪末彭加勒用其卓越的才能发现在引力作用 下，太阳、地球和月亮三体问题中，三体运 动的轨道具有“无法描写的复杂性”。最有 意义的是，他的

3、发现表面对三体以上的简单力学体系，起运动状态对初始条件显示出极其灵敏的依赖性。这种现象后来被叫做“混沌”。,单摆,7.2 混沌,1 对单体体系，当运动方程不再 是线行的时候，也可能出现类似的 混沌现象。 当初始0很大，达到时，同 时作用一个力F，则此时小球的运动 也将具有几乎无法描写的复杂性。,复摆,2 1961年以后，对混沌现象的研究，在气象学、生态学、化学反应、生命科学等领域都被重视起来。 梅根据物理学家的研究方法，提出了建立能抓住主要矛盾的模型方法来进行研究。 池塘中的一群金鱼，生态模型 这是一个线性迭代方程。一年后，变为 以后逐年增长，这并不符合实际。 瑞克把方程改为如下非线性模型：

4、加了因子 ，表示了环境的限制作用，保证 不会增加太快，且不许超过1。,3 此方程反映的混沌现象： （1）当 ，有一个稳定的上限，如 ，当 后 ，有极值0.5833。 （2）当 是第一个“临界值”。当 ，极限值 由1个变为2个，即出现“分岔”现象， 作振荡变化。 （3）当 ， 有4个极限值。 时，又突然变为有8个极限值。 （4） 后，发生奇怪的现象 （n很大）不但上下跳，且数值几乎无规则地遍及一个很大的范围。尤其是梅发现十分灵敏地依赖于初始值 的选取。 只变动一点点， 就可突然变化很大，甚至变得不可预测。 反映 时，系统进入混沌状态。,4 一位年轻学者钻研混沌现象，发现各个分岔临界值之间存在一个

5、普适关系式 这位学者还猜测，流体从稳恒流动到流速增加到一定值后会突然变为湍流，本质上是一种从分岔周期倍增而进入混沌的过度。 5 科学家又在混沌区域中分析并找到了一种“自相似”结构，叫做“分形”。,课堂欣赏迷人的分形艺术 “分形”(fractal)，是分形几何的创始人曼德尔布罗特于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。 德尔布罗特研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。 德尔布罗特集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，你可以无限地放大她的

6、边界。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。,微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，德尔布罗特集合是向传统几何学的挑战。用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为“分形艺术”。,7.3 宏观不可逆性与熵的概念,一、时间箭头与洛喜密特佯谬 1时间是不可逆的 到19世纪，人们在日常生活中所体会到的“时间箭头”不可逆的经验在物理学中已上升为一条热力学第二定律：自然过程总是不可逆的，如热量总是自发地由高温物体传向低温物体。

7、 宏观量温度只对处于平衡态的体系才有意义，温度乃是微观分子（原子）运动剧烈程度的一种量度。微观粒子动能的平均值直接决定气体温度T:,2洛喜密特佯谬 洛喜密特佯谬：如何理解经典力学在时间上的可逆性（不存在有方向的时间箭头）与热力学在时间上的不可逆性（存在宏观时间箭头）之的矛盾。,该如何理解呢？,洛喜密特,例 热力学在时间上不可逆。有一箱子，中间用隔板分成A、B两室，若A室中有大量粒子，而B室中没有一个粒子。一旦把隔板抽走，则A室中的粒子会扩散到B室中，最后达到平衡态。此时再想回到开始的情况是不可能的，即时间上不可逆。 要解释这个佯谬，就要讨论概率和熵。,二、概率和熵 大量分子趋于均匀分布是因为这

8、中分布的微观态数最多，即出现的概率最大。 微观状态 宏观状态 宏观态对应的微观态数目 概率,1,4,1/16,4/16,微观状态 宏观状态 宏观态对应的微观态数目 概率,6,4,1,6/16,4/16,1/16,2熵的定义 熵增加原理 熵是一种世界观 （1）在统计物理中引入“相空间”概念，把它分成许多“相格”，即 现有N个粒子，分布在第r格中的粒子数为 ，则N个粒子的微观态数目 （2）可以断言，N个粒子运动，在微观上是不可预测的，但宏观上却可以预测：即一定趋向于概率最大，即对应的微观态数目W最大（最无序、最混乱）的平衡状态。基于这种考虑，玻尔兹曼提出了熵的定义 由熵的定义可见，宏观态总是从非平

9、衡态趋向于平衡态。,玻尔兹曼离开人世后，人们在 他的墓碑上只刻着一个公式：,时间上不可逆！,统计物理中,熵增加原理,玻尔兹曼的墓碑,这正是反映了熵在科学发展中起的重要作用。熵增加原理不只是解释了热力学第二定律，而是揭示了自然演化的不可逆性，使物理学研究进入到演化物理学领域。熵概念的提出使人们在认识观念上有了重要变化，熵是一种世界观。目前熵的概念已被广泛拓展到信息论、宇宙论、天体物理及生命科学等领域中。, 7.4 麦克斯韦分布和玻尔兹曼分布,N个分子组成的理想气体到达平衡态时，分子的速度分布是什么？这是一个非常有实际意义的问题，也是统计物理研究的主要问题之一。 1玻尔兹曼分布率 首先在两个约束条

10、件下： 通过变分法可以导出在相应概率最大的平衡态条件下， 分子动能为 的分子数为,称为玻尔兹曼分布率。 2麦克斯韦速度分布率 由上式可得在速度区间 中，分子速度分布公式（在直角坐标系中）为：,其中： , 在球坐标中为： 其中 它满足归一化条件： 称为麦克斯韦速度分布函数。,图中，竖线所指为方均根速率， 可由下式计算为：,读者也可以求出平均速率 、最概然（概率最大的）速度 与 相比较，将会发现,7.5 物态变化 相变潜热和热力学第一定律,1状态方程 对一种纯物质组成的体系，处在平衡态时，p、V、T三个量之间有一定的函数关系，称物态方程（三者哪两个作为独立参量可视具体情况而定）。知道了物态方程，可

11、知道物质系统的许多热学性质。但是在实际情况下，物质系统的状态方程的精确表达式很复杂，在热力学宏观理论中只能由实验来确定。,2相变过程 相变潜热 物体气、液、固三态之间的变化称为相变。 例如，水有水蒸气、水、冰三种状态，在保持100的情况下，使压强准静态地增大，当压强为标准大气压时，可以看到容器中的水蒸气开始有水滴凝结出来，出现期、液两相共存状态。,压缩水蒸气,一杯冰茶证明的水的不同形态的共存,汽化热：单位质量的液体汽化成同温度的气体所吸收的热量。 同一物质，不同温度，汽化热不同； 相同温度，不同物质，汽化热不同。 凝结过程中，放出的热量的大小与汽化热相等。 相变潜热：这种吸收或放出的热量。,水

12、在标准大气压下不同温度下的汽化热,几种液体在标准大气压下，在沸点时的汽化热,图中A点是三相平衡共存的三相点，位于Tt=273.16K=0.01，pt=0.00603atm=611Pa处。AC是气液相变曲线，AC上每点所对应的p和T表示在这种压强和温度下可气、液两相平衡。C点是临界点，在此点处水和它的蒸气密度相等0.32g/cm3，不可分辨了。AD是固液相变曲线。 同样，当水凝固成 冰时，放出相变潜热为 333.6J/g，冰融化为水 时要放出同样的热量。,4为什么水会浮在冰上？ 水有奇特的性质在4以上体积随温度下降而缩小，在4以下反转为膨胀。因此，0时的冰变的相当松，密度比水小，浮在水面上。这是

13、因为结冰时水分子之间整齐排列的“氢键”把分子间距离略微推开的缘故。 水的这个性质对生命进化至关重要。 讨论与思考： 为什么拿速冻食品时，会感到手被粘住了呢？,水的分子结构,冰的晶体结构,5从热力学观点看相变问题 图7-5-1的逆过程是让活塞在保持T不变时，逐渐膨胀上升，此时将有一部分水化为蒸气，要吸收热量。在正逆过程中，有热量变化，这写热量变化何去何从？实际是与外界对系统做功，以及系统内能的变化有关。这正是热力学第一定律所表述的： 它是能量守恒定律在热力学 过程中的表述形式。,活塞做功,7.6 从比热看物质结构,本节讨论在不发生相变的情况下，物质变化所吸收或放出的热量，即比热容问题。这个问题与

14、物质结构有密切关系，并说明利用量子理论来描述的必要性，是量子理论的又一伟大胜利。 一、能量均分原理（即能量按自由度均分原理） 1分子的自由度 自由度：确定一个物体在空间的位置所必需的独立坐标 数目,2 要知道比热容，涉及系统内能。对理想气体，内能即每个分子的平均动能和势能之和，对平动和转动只有动能贡献，但对多原子分子，原子之间做相对振动时，分子的能量除动能外，还有势能。,3对平动而言。已证明： 且每一方向的平均动能都为 。 也就是对平动讲，每个自由度具有相同的平均动能。 对振动和转动，同样每个自由度的平均能量为 。 于是在经典物理中建立了一条能量均分原理：在热平衡 状态下，分子运动的每个自由度

15、将有 的平均能量。,二、单原子理想气体的比热容和摩尔热容 比热容定义：单位质量气体每升高单位温度所需的 热量。 定容比热容cV：保持系统体积V不变测得的CV,m=McV 定压比热容cp：保持系统压强p不变测得的Cp,m=Mcp 其中为M摩尔质量。 按定义，单原子气体摩尔热容： （1）,上式计算中用了物态方程pV=RT 对单原子气体，有 与实验值相符。,表7-6-1 若干物质的比热容,表7-6-1 若干物质的比热容（续表）,三、双原子分子气体 1对值的解释，经典理论遇到困难 理论上：双原子气体N2、O2的=1.40，利用经典能量均分原理，考虑到双原子分子有3个平动自由度，2个振动自由度，2个转动自由度，可得 与实验不符。,，,2利用量子理论可以解释 由量子理论，振动能量应是量子化的， 计算可得 在室温下，kT0.026eV，假定分子振动对应波长 红外光子，相应的 ，即 ，所以,（n=0，1，2，）,。,注意到， ，也是振子的基态与第一激发态之间的能量差， 意味着室温下，分子振动不会因为分子间的碰撞而激发起来，即振动自由度被冻结。