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1、实变函数课程教学大纲一、课程性质与目标（一）课程性质实变函数是高等师范院校数学专业的一门专业必修课程，是重要的专业基础课，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析和科学研究提供必不可少的基础知识。而且对加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。（二）课程目标通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。并且在一定程度上掌握集的分析方法。通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。在某些与中学教材相关的教学内容中，
2、要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。采用课堂讲授，倡导和实施启发式和交互式教学法，组织课程教学。二、课程内容与教学（一）课程内容1、课程内容选编的基本原则（1）、把握理论、技能相结合的基本原则。（2）、注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。2、课程基本内容（1）集合（2）点集（3）测度论（4）可测函数（5）积分论（二）课程教学1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。2、加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力
3、。3、在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生分析实际问题和解决实际问题的能力。4、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。三、课程实施与评价（一）学时、学分本课程总学时为54学时。学生修本课程部分内容，成绩合格，可获3学分。 本大纲的完成需54学时。由于课时的限制，主要以讲授第一章、第二章和第三章为主；在教学过程中，根据实际情况，计划可能要作一些调整。（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。2、教学设备（1）配备多媒体教学设备。（2）配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。（三）课程评价1、对学生能力的评价（1）
4、基本运算能力，包括运算速度及准确性。（2）逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。2、采取教师评价为主的评价方法。3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出课程成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。四、课程基本要求 集合1. 集合的表示（1）理解“集合”这个原始概念的描述；（2）理解子集及真子集的定义，并掌握证明两个集合相等的证明方法。2. 集合的运算（1）理解交集、并集、差集、余集，上限集及下限集等概念。（2）掌握De. Morgan法则的应用；（3）会求给定集列的上限集及下限集，这是本章的难点之一。3. 对等与基数（
5、1）正确理解映射、一一映射、集合对等、基数的概念；（2）正确理解Bernstein定理，并掌握它的证明方法。4. 可数集合（1）理解可数集合的概念；（2）掌握可数集合的性质。5. 不可数集合（1）掌握不可数集合的概念，并能判断常见的一些点集是否为可数集合；（2）会证明一些常见的点集是不可数集合。如N维欧氏空间、实数列全体等；（3）正确理解“无限集合的不同基数有无限之多”这一结论，即明白没有“最大基数”，并能给出证明，这是本章的重点，也是难点。 点集1. 度量空间、n维欧氏空间（1） 理解度量空间、邻域、极限点、点集E的直径、两点的距离、有界集、无界集等概念；（2） 能证明一些点集为度量空间，如
6、n维欧氏空间，闭区间a,b上的连续函数的全体等；（3） 掌握邻域的基本性质。2. 聚点、内点、界点（1） 掌握聚点、内点、界点、外点、孤立点的概念；（2） 掌握聚点的等价性条件；（3） 掌握开核、边界、导集、闭包等概念，并弄清相互关系；（4） 理解Bolzano-Weierstrass定理3. 开集、闭集、完备集（1） 掌握开集、闭集、完备集、致密集的概念；（2） 掌握开集、闭集的等价性条件；（3） 能证明开集与闭集的对偶性定理；（4） 掌握开集与闭集的性质（5） 理解与掌握HeineBorel有限覆盖定理。4. 直线上的开集、闭集、完备集的构造（1） 掌握构成空间、稠密集、疏朗集等概念；（2
7、） 掌握直线上的开集、闭集的构造（3） 掌握康托尔集的构造和性质（它是一个的疏朗完备集） 测度论1. 外测度（1）正确理解Lebesgue外测度的定义及其性质；（2）了解常见的点集的外测度。2. 可测集（1）正确理解Lebesgu测度的定义；（2）掌握Lebesgue可测集的基本性质3. 可测集类（1）掌握一些重要的可测集类；（2）正确理解Borel集的定义；（3）掌握Lebesgue可测集与Borel集之间的关系。 可测函数1. 可测函数及性质（1） 掌握可测函数，点集E上连续函数，简单函数，一个命题“几乎处处”成立等数学概念；（2） 掌握可测函数的等价条件；（3） 掌握可测函数的四则运算；
8、（4） 掌握可测函数与简单函数之间的关系。2. EropoB 定理正确理解EropoB定理的意义并掌握其证明过程。3. 可测函数的构造（1） 正确理解鲁金定理的意义并掌握其证明过程；（2） 掌握鲁金定理的等价形式。4. 依测度收敛（1） 正确理解依测度收敛的定义；（2） 掌握F.Riesz的证明；（3） 掌握a.e 收敛与依测度之间的关系（Lebesgue定理）。 积分论了解勒贝格积分的定义及性质以及与R-积分进行比较。五、学时分配 :章节名称讲授学时第一章 集合15第二章 点集12 第三章 测度论12 第四章 可测函数12 第五章 积分论3合计54六、教材和主要参考书：教材为：实变函数与泛函分析基础（第二版），程其襄，张奠宙等编，高等教育出版社.参考书为：（1）实变函数论（第一版），周明强编著，北京大学出版社.（2）实变函数论（第二版），江泽坚，吴智泉编，高等教育出版社.大纲编写时间：2011年6月18日教学大纲编写教师：孙娜教学大纲审查教师：分析教研室 莎仁格日乐教务处审查人：分管教学校长：
