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1、2.2 离散型随机变量及其分布,1.引入,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , .,为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,一、概率分布,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是 0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,一般地，我们给出如下定义:,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数,2.定义:,解: 依据概率函数的性质:,a0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,3、表示方法,（1）列表法：,（2）
2、图示法,（3）公式法,4、举例,例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解： X可取0、1、2为值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1,常常表示为：,这就是X的概率分布.,例4. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,P(X=1)=P(A1)=p,为计算 P(X =k )， k =
3、1,2, ，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数X的概率函数.,P(X=1)=P(A1)=p,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布(定义2.2.5).,不难验证:,设离散型r.vX 的概率函数是,P(X=xk ) = pk , k =1,2,3,则 F(x) = P(X x) =,由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.,5、离散型r.vX的分布函数,当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0,当 0 x 1 时， F(x) =
4、 P(X x) = P(X=0) =,当 1 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,概率函数图,分布函数图,画 分布函 数图,不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,例6 设箱中装有5件产品,其中有2件次品, 其余为正品,现不放回地一件件取,直到取 完全部次品为止,求所取的次数X的分布列 及分布函数,补P32例2.2.3,二.几种
5、常见的离散型r.v的分布,1. 0-1分布(定义2.2.2),若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，,P(Xk)pk(1p)1k, (0p1;k0,1),或,其概率分布为,则称X服从(01)分布(两点分布),用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则,设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.,2. 二项分布,定义2.2.3 若随机变量X的概率分布为：,（2）,不难验证：,（1）,则称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作,XB(n,p),当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1 称X服从0-1分布,例7
6、某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.,解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .,X B (3, 0.8)，,把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为“成功”.每次试验, “成功”的概率为0.8,P(X 1) =P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值，此时(n+1
7、)p 称为二项分布的最可能值。,( x 表示不超过 x 的最大整数),对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.,当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值，此时(n+1)p与(n+1)p-1称为二项分布的最可能值。,如何得到上述结论？,可见n很大时,频率为概率的可能性最大.,例8 设每个子弹击中目标的概率为0 .01，问射击400发子弹时，击中目标的最可能成功次数是多少？并求该次数所对应的概率。,解：因为p=0.01,所以(n+1)p=4.01=4,所以最可能成功的次数k=4,当试验
8、次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如例8等诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法。,我们先来介绍二项分布的泊松近似，以后我们再介绍二项分布的正态近似.,(一)、泊松分布(定义2.2.4),设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作XP( ).,3. 泊松分布,不难验证：,（1）,（2）,由泊松定理知，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.,如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,（二）、二项分布的泊松近似,证明见教材P39.,定理的条件
9、意味着当 n很大时，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：,其中,n 10, np 1 时近似效果就很好,实际计算中，,例9 有一汽车站有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天某段时间出事故的概率 为0.0001,在某天该段时间内有1000辆 汽车通过,求事故数不小于2的概率.,例10 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解:由题意,例11 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情
10、况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设X为300台设备同时发生故障的台数，,300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型.,XB(n,p)，n=300, p=0.01,可见，,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当
11、设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设X为300台设备同时发生故障的台数，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,的最小的N.,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,P(XN) 0.01的最小的N.,P(XN),n大,p小,np=3, 用 =np=3 的泊松近似,下面给出正式求解过程：,即至少需配备8个维修人员.,查书末的泊松分布表得,N+1 9,即N 8,例:某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,4. 几何分布与超几何分布,则称X服从参数
12、为p的几何分布.,记作XG(p).,不难验证:,定义2.2.5:设随机变量X的概率函数为:,例 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,解：用X表示取到的次品数,次品,正品,M件次品,N-M件 正品,定义2.2.6:设N个元素分为两类,有M个属于 第一类,N-M个属于第二类.现从中不重复 (无放回)抽取n个,其中包含的第一类元素 的个数X的分布律为:,这里l=minn,M,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布.记为XH(N,M,n).,当N 很大而n相对于 N是比较小时,可以用二项分布公式近似计算.其中,例12一大批种子的发芽率为0.9,今从中任取10粒,求播种后,(1)恰有8粒发芽的概率;(2)不少于8粒发芽的概率。,想一想：离散型随机变量的统计特征可以 用分布律描述，非离散型的该如何描述？ 如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意 X5年还是X5年零1分钟,进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且 在前m次试验中成功了m-1次,思考1：,思考2： 某店内有4名售货员，据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟，问该店配置几台秤较为合理？,
