《采矿弹性力学基础第5章空间问题的基本理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《采矿弹性力学基础第5章空间问题的基本理论（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 空间问题的基本理论,教学重点,1、空间问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程； 2、空间轴对称问题的基本方程。,教学要求 1、了解空间问题的三套基本方程； 2、掌握物体内任一点的应力状态； 3、掌握轴对称问题的特点，了解轴对称问题的基本方程。,在一般空间问题中,包含15个未知函数： 6个应力分量 x,y,z,xy,yz,zx； 6个应变形变分量 x,y,z,xy,yz,zx； 3个位移分量 u,v,w。 它们都是坐标（x,y,z）的函数。 在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立3套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出
2、应力分量、形变分量和位移分量。,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。,球对称问题,球对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。 在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。,轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,轴对称问题,在
3、外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体加以分析。,如果仅考虑单元体的平衡，可以不考虑单元体同一方向上相隔一定距离应力的微小变化，前后两面的应力可认为是大小相等、方向相反。但是，在分析整体的平衡时，应力的这个微小变化，各面的应力差就是造成物体各处应力变化的原因，必须加以考虑。,5-1 平衡微分方程,考虑图示单元体z轴方向的平衡: 在z面的负面z处，正应力记为,在x面的负面处，切应力记为 xz；,x,y,z,o,z正面z+dz处应力为,x正面x+dx处切应力为,在物体内的任一点P取一微小的正六面体，其六面垂直于坐标轴，棱长为dx,dy,dz。,5-1 平衡微分方
4、程,在y面的负面y处，切应力记为yz,x,y,z,o,y正面y+dy处应力为,设fz 为物体z的方向的体力分量。,由,整理便得到z方向的平衡方程:,5-1 平衡微分方程,5-1 平衡微分方程,5-1 平衡微分方程,5-1 平衡微分方程,空间问题中的平衡微分方程：,（51）,同样得到x、y方向的平衡方程。,5-1 平衡微分方程,以六面体前后两面中心的直线ab为矩轴,列出力矩的平衡方程：,证明切应力互等定律,整理得：,根据小变形假定，略去微量不计，得,同样可以得出：,5-1 平衡微分方程,5-2 物体内任一点的应力状态,已知任一点P的应力分量 x、y、z、xy 、yz 、zx ，,在P点附近取一平
5、面ABC,平行于该斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC,如图所示.n为平面ABC的外法线,其方向余弦为： cos(n,x)= l, cos(n,y) = m , cos(n, z) = n,求：过该点的任 一斜面上的应力。,1、求AB面上的应力分量 px，py，pz,除以ds ,然后令dv/ds0, 得：,px= l x + m yx + n zx,由x方向的平衡得到：,pxdS - x ldS-yx mdS -zx ndS+fxdv=0,设px、py 、pz为斜面ABC的全应力p在坐标轴上的投影。斜面ABC的面积为 ds, 则三角形BPC,CPA,APB的面
6、积分别为lds, mds, nds。PABC的体积为dv。,5-2 物体内任一点的应力状态,py= my + n zy + l xy,pz= n z + l xz +m yz,同理可得 y,z方向的平衡条件 于是得：,px= l x + m yx + n zx,（5-2）,5-2 物体内任一点的应力状态,2、求ABC面上的正应力n和切应力分量n,ABC面上的正应力n：,（53）,将式（52）代入得：,ABC面上的切应力 n ：,可见，若已知坐标面上的6个应力分量，就可求任一斜面上的正应力和切应力。6个应力分量完全决定了一点的应力状态。,（54）,5-2 物体内任一点的应力状态,（55）,特殊情
7、况下，如果ABC是物体受面力作用的边界s，则px ，py ，pz成为面力分量,上式即是空间物体的应力边界条件，表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。,由式（52）得出应力边界条件：,l x + m yx + n zx,n z + l xz +m yz,my + n zy + l xy,在s上,5-2 物体内任一点的应力状态,则有：,将式（7-2）代入得：,若经过任一点P的某一面上的n 0，则 该面为P点的一个应力主面，n 即为P点的一个主应力，该斜面的法线方向即为P点的一个应力主向。,(a),5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,px= l ， py= m, pz= n ,（b）,利用
8、方向余弦的关系式：,联立求解式(a),(b),能够得出 l , m , n ,一组解答，就得到 P点的一个主应力及对应的应力主面和应力主向。,为求解方便，将式(a)改写为：,(c),5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,（76）,由于l,m,n不能全为0，故系数行列式应该等于零：,展开得：,解方程得出的3个实根1 ，2 ，3，即为P点的3个主应力。,5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,主应力的个数 设三次方程（56）至少有1个实根，因而至少存在1个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力为 3，并将z 轴放在这个应力主向，则有：,z 3, zx=xz=0, zy=yz=0,于是正六面
9、体的应力如图所示，根据2-3的分析，可以断定有2个主应力1和2 ，作用在互相垂直的2个应力主面上。,说明：在受力物体内的任意一点，一定存在3个互相垂直的应力主面 以及对应的3个主应力。,5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,（d）,( 1) ( 2) (3)0,（56）式可写为：,比较（56）式和（d）式中的项，得：,1 +2+ 3 =x+y+z,（5-7）,可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变化，是不变量，并且等于三个主应力之和。,可以证明：3个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力。,5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,5-4 几何方程
10、及物理方程、边界条件,（58）,一、几何方程 形变分量与位移分量应满足下列6个方程，即空间物体的几何方程：,二、空间问题的物理方程,（59）,物理方程描述形变分量与应力分量之间的关系,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,三、空间问题的边界条件,1、位移边界条件,在给定的约束位移边界su上,位移分量还应满足下列3个位移边界条件，即空间物体的位移边界条件：,(在su上） （510）,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,2、应力边界条件,在给定的s边界上,应力分量还应满足下列3个应力边界条件：,l x + m yx + n zx,n z + l xz +m yz,my + n zy + l xy
11、,在s上,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,四、体积应变,设微小正六面体的棱边长度： dx, dy, dz, 变形前的体积为: v = dxdydz; 变形后的体积为：v=（dx +xdx)(dy +ydy)(dz +zdz),体积应变（体应变）单位体积的改变，称为体积应变。,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,（512）,则体应变为：,略去高阶微量，得：,将几何方程代入，得：,（511）,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,五、体积应力和体积模量,将物理方程中的前3项相加，得,令,其中：,称为体积应力；,则上式为：,称为体积模量。,（513）,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,六
12、、物理方程的另外一种形式 用形变分量来表示应力分量,求解x得:,由,代入上式，得：,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,（514）,于是得用形变分量来表示应力分量的物理方程：,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,总结： 在一般空间问题中,包含15个未知函数： 6个应力分量 x, y, z, xy, yz, zx； 6个应变形变分量 x, y, z, xy, yz, zx 3个位移分量 u, v, w。 它们都是坐标（x, y, z）的函数。 在弹性区域内部，这15个未知函数应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。此外，在给定约束位移的边界su上，还应当满足位移
13、边界条件（79）；在给定面力的边界s上，还应当满足应力边界条件（75）。,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,空间问题中的平衡微分方程：,空间物体的几何方程：,空间问题的物理方程,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,（55）,应力边界条件：,l x + m yx + n zx,n z + l xz +m yz,my + n zy + l xy,在s上,位移边界条件：,(在su上）（59）,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,5-5 空间轴对称问题的基本方程,轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称
14、为轴对称问题。 弹性体的形状：一般为是圆柱或半空间。,在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时，宜圆柱坐标,z 。,特点：若对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量、位移分量都将只是、z的函数，不随而变。 具有方向性的各物理量应当对称于通过z轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量必然不存在，它们应当等于零。,5-5 空间轴对称问题的基本方程,基本概念 径向线应变沿方向的线应变； 环向线应变沿方向的线应变； 轴向线应变z沿z方向的线应变； z方向与 z 方向之间直角的改变； 方向与方向之间直角的改变； z z 方向与方向之间直角的改变； 径向位移分量 u沿方向的位移分量； 环向位移分量 u 沿方向的
15、位移分量； 轴向位移分量 uz沿z方向的位移分量；,5-5 空间轴对称问题的基本方程,一、空间轴对称问题的平衡微分方程,由于对称性，在水平面内无增量，且,从轴对称物体中取出图示的单元体。,并且环向体力分量 f0,5-5 空间轴对称问题的基本方程,化简后得到,根据方向的平衡，可得,5-5 空间轴对称问题的基本方程,根据z方向的平衡，可得,化简后得到,一、空间轴对称问题的平衡微分方程,5-5 空间轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的平衡微分方程为,（515）,5-5 空间轴对称问题的基本方程,由于对称，各点环向位移u0，由径向位移产生的应变为,由轴向位移uz产生的应变为,迭加得到几何方程,二、 空间轴对称问题的几何方程,（516）,5-5 空间轴对称问题的基本方程,由于柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以物理方程的基本形式可以直接根据虎克定律得来：,三、空间轴对称问题的物理方程,（517）,5-5 空间轴对称问题的基本方程,式（517）的前三项相加，得,体积应变为：,体积应力为：,5-5 空间轴对称问题的基本方程,应力分量用应变分量表示为,应力分量用位移分量表示为,空间轴对称问
