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1、3 随机变量的相互独立性,回顾：独立事件,定义：设 A, B 是两个事件，若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 A, B 相互独立，简称 A, B 独立,定理1：若 P(A) 0 ，则事件 A, B 独立的充要条件是,或（若 P(B) 0）,定理2：若事件 A与B 相互独立，则下列三对事件也独立：,定义：若对于所有的实数 x, y，有 PXx, Yy = PXx PYy， 则称随机变量X 和Y 是相互独立的 设 F(x, y)及FX (x)，FY (y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，则上式可记作 F (x, y) = FX (x) FY (y) 设 f(x,
2、y)及 fX (x)，fY (y)分别是二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度及边缘概率密度，则上式也可记作 f(x, y) = fX (x) fY (y) 若(X,Y) 是二维离散型随机变量，则对于(X,Y) 的所有可能取值 ( xi , yj ) ，有 P X = xi , Y = yj = PX = xi PY = yj ,（在平面上几乎处处成立）,例 设 的联合分布列为,证明 与 分布相互独立。,容易算得证明 与 的边缘分布列为：,容易验证：,类似可以验证：,对所有的,例：设二维正态随机变量 (X, Y) 的概率密度为 其中 m1, m2, s12, s22, r 都是常数，且 s1
3、0， s2 0， 0| r |1,X N(m1, s12),Y N(m2, s22),证明：对于二维正态随机变量 (X, Y) ， X 和Y 相互独立的充分必要条件是 r = 0 ,若 r = 0，则对于所有的实数 x, y，有 f(x, y) = fX (x) fY (y) ，即 X 和Y 相互独立 若X 和Y 相互独立，因为 f(x, y) , fX (x), fY (y) 是连续函数，所以对于所有的实数 x, y，有 f(x, y) = fX (x) fY (y) 特别地，令 x = m1，y = m2，那么 从而 r = 0 ,r = 0,证明：对于二维正态随机变量 (X, Y) ，
4、X 和Y 相互独立的充分必要条件是 r = 0 ,例：一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8 12 时，他的秘 书到达办公室的时间均匀分布在 7 9 时，设两人到达的时间相 互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟(1/12时)的 概率,解：设负责人和他的秘书到达办公室的时间分别为X 和 Y，则,因为X 和 Y 相互独立，所以,所求概率是,关于多维随机变量,定理：设 (X1, X2, , Xm) 和 (Y1, Y2, , Yn) 相互独立，则 Xi ( i = 1, 2, , m ) 和 Yj ( j = 1, 2, , n ) 相互独立 若 h，g 是连续函数，则 h (X1, X
5、2, , Xm) 和 g (Y1, Y2, , Yn) 相互独立,4 条件分布,回顾：条件概率,定义：对事件 A、B，若 ，则把 称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，简称 条件概率.,条件分布 一个分量取值固定的 条件下，另一个分量所具有的概 率分布.,二维离散型随机变量的条件分布,设(X, Y)是二维离散型随机变量，其联合分布律为 (X, Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布律为 假设 p.j 0，考虑X = xi | Y = yj (i = 1, 2, ) 的概率,显然， 1o 2o 所以上述的条件概率具有分布律的性质,定义：设(X, Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j
6、 ，若 PY = yj 0，则 称为在 Y = yj 条件下随机变量 X 的条件分布律 同样，对于固定的 i ，若 PX = xi 0，则 称为在 X = xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律,例1 设二维离散型随机变量 的分布列为,求: (1) 的条件下 的条件分布列；,(2) 的条件下 的条件分布列.,解 (1) 则,条件分布函数的概念,定义：函数 称为二维随机变量(X, Y)在 Y = y 条件下X 的条件分布 函数. 同理，可定义在 X = x 条件 下Y 的条件分布函数,几何意义： 随机点(X,Y) 落在以点(x, y) 为右端点且与 x 轴平行的射 线上的概率,二维连续型随机变量
7、的条件分布,设二维连续型随机变量 (X, Y) 的概率密度为 f(x, y)，(X, Y)关于Y 的边缘密度函数为 fY( y) 由于对任意的实数 x, y，有PX = x = 0， PY = y = 0，因此不能直接利用条件概率公式引入“条件分布函数” ,定义 设 的密度函数为 对任意,一个固定的 当 时,称,为已知 发生的条件下 的条件(概率)密,度函数.类似地,对任意一个固定的,当 时,称,为已知 发生的条件下 的条件(概率)密,度函数.,易见, 与 满足作为密度函数的,两个条件,例如,与条件密度函数相应的分布函数为,称为条件分布函数.,例2 设 与 的联合密度函数为,其中区域 为直线
8、以及 轴所围的,区域，试求事件 发生时 的条件密度,函数。,解 首先计算关于 的边缘密度函数.当,时，,于是 在已知事件 发生的条件下,的值域为区间 且当 时，,从而，所求条件密度函数为,因此,关于 的边缘密度函数为,5 两个随机变量函数的分布,回顾：一维连续随机变量函数的分布,一般方法：定义法,计 算 方 法,严格单调函数,方法一：定义法,方法二：反函数法,（注：使反函数无意义的 ，定义概率密度为0）,二维随机变量函数的分布,设 (X,Y) 的密度函数为 f(x, y) ，求 Z = g(X,Y) 的密度函数 解题思路： 先求出 Z = g(X,Y) 的分布函数 FZ( z )： 再利用密度
9、函数与分布函数之间的关系求出 Z = g(X,Y) 的密度函数 fZ( z ) ：,1、和的分布 Z = X + Y,此时,（交换积分次序）,特别地，当X 和Y 相互独立时，,这两个公式称为卷积公式，记作 fX*fY ，即,于是,（利用X, Y 的对称性）,例：已知X 和Y 相互独立，且 X N(0,1)， Y N(0,1)，试求 Z = X + Y 的概率密度,解：,于是,即有Z N(0,2) ,由已知,结论： 若X 和Y 相互独立，X N(0,1)， Y N(0,1)，则 X + Y N(0,2),进一步推广：若 X1, X2, , Xn 相互独立，且 Xi N(mi , si2)， i
10、= 1, 2, , n， 记 ，则,推论： 若X 和Y 相互独立，X N(m1, s12)，Y N(m2, s22) ， 则X + Y N(m1 + m2, s12 +s22) ,2.商的分布,设 的概率密度为 的分布函数,为 概率密度为 则,其中 为由 确定的平面区域, 为由,确定的平面区域,如图所示.令 则有,从而 的概率密度为,特别地， 与 相互独立时, 的概率密度为,其中 与 分别为 的边缘概率密度.,例5 随机变量 相互独立, 均服从参数,为 的指数分布,求 的密度函数.,解 由题可得,由 相互独立,所以,当 时,当 时,从而,3.一般情况,对于更一般的情况,如果 是二维连续型,随机变量,概率密度为 则 的,分布函数为,其中 为平面区域 通过二重积分,求出分布函数 然后再求导得到 的概率,密度,当X 和Y 相互独立时，,M = max (X,Y) 及N = min (X,Y)的分布,设 X1, X2, , Xn 相互独立，则 M = max (X1, X2, , Xn ) 及 N = min (X1, X2, , Xn ) 的分布函数为,推广,若 X1, X2, , Xn 相互独立且具有相同分布函数 F(x) ，则,
