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1、- 1 -1电磁感应中的双杆运动问题有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。例 1.2006 年高考重庆卷第 21 题21.两根相距为 L 的足够长的金属直角导轨如题 21 图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。质量均为 m 的金属细杆 ab、 cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为 ，导轨电阻不计，回路总电阻为 2R。整个装置处于磁感应强度大小为 B,方向竖直向上的匀强磁场
2、中。当 ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下以速度 V1 沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度V2 向下匀速运动。重力加速度为 g。以下说法正确的是A.ab 杆所受拉力 F 的大小为 mg + RVL21B.cd 杆所受摩擦力为零C.回路中的电流强度为 B)(21D. 与 V1 大小的关系为 = 12VLRmg【解析】因 4 个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断A 因为 ab 杆做匀速运动，所以受力平衡，有 ，其中 , 安Ffmgf, , , 所以 , 所以 F=mg + ,A 正确；BILF安 RE21BLVRLI21RVLB21B 因为 cd 杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以
3、 cd 杆受摩擦力大小为 ，gf或者，因为 cd 杆所受安培力作为对轨道的压力，所以 cd 杆受摩擦力大小为,总之，B 错误；RVLf21C 因为只有 ab 杆产生动生电动势（ cd 杆运动不切割磁感线） ，所以回路中的电流强度为 ，C 错误；I1- 2 -2D 根据 B 中 和 ，得 = ，所以 D 正确。mgfRVLBf2112VLBmg本题答案为 AD。【点评】ab 杆和 cd 杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为 ab 杆切割磁感线而 cd 杆不切割磁感线，所以感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即 ，而不1BLVE是 , 电流是 ，而不是 。)(21VBLERBLVI21R
4、VBLI2)(1例 2. 2006 年高考广东卷第 20 题16 （16 分）如图 11 所示，在磁感应强度大小为 B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U ”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为的匀质金属杆 和 ，开始时两根m1A2金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为 H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为 r。现有一质量为 的2m不带电小球以水平向右的速度 撞击0v杆 的中点，撞击后小球反弹落到下1A层面上的 C 点。C 点与杆 初始位置2A相距为 S。求：（1）回路内感应电流的最大值；（2）整个运动过程中感应电
5、流最多产生了多少热量；（3）当杆 与杆 的速度比为 时， 受到的安培力大小。213:2【解析】设撞击后小球反弹的速度为 ，金属杆 的速度为 ，根据动量守恒定律，1v1A01v， 0110)(mvv根据平抛运动的分解，有St12gH由以上 2 式解得 1vHgS2代入得 )(00回路内感应电动势的最大值为 ，电阻为 ，所以回路内感应电流的最01BLvEmLrR2大值为 。 mIrgsvB4)2(0（2）因为在安培力的作用下，金属杆 做减速运动，金属杆 做加速运动，当两杆速度1A2A大小相等时，回路内感应电流为 0，根据能量守恒定律， 201mvQv- 3 -3其中 是两杆速度大小相等时的速度，根
6、据动量守恒定律， ，所以 ，v mv201012v代入式得 Q= m1620)(Hgsv（3）设金属杆 、 速度大小分别为 、 ，根据动量守恒定律，A21v2，又 ，所以 ， 。10v31v04301v金属杆 、 速度方向都向右，根据右手定则判断 、 产生的感应电动势在回路中方2 A2向相反，所以感应电动势为 ，电流为 ，安培力为 ,所以)(21vBLELrEIBILF受到的安培力大小为 F= 。当然 受到的安培力大小也如此，只不2Ar820Hgs1过方向相反。答案：16.(1) (2)Q= (3)F= rgsvB4)2(0m1620)(gsvrLB82)(0Hgsv【点评】金属杆 、 两杆在
7、同一个金属 U 形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都1A2向右） ，同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外） ，但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即 ， 电流是 ，方向为金属杆 中感应电流的方向，因)(21vBLERvBLI)(211A为 比 产生的感应电动势大，安培力是 ，方向都和速度方向相反1A2 vF)(212（都向左） 。例 3. 2004 年高考全国 I 卷第 24 题24.（18 分）图中 a1b1c1d1 和 a2b2c2d2 为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导
8、轨所在平面（纸面）向里。导轨的 a1b1 段与 a2b2 段是竖直的，距离为 l1；c 1d1 段与 c2d2 段也是竖直的，距离为 l2。x 1y1 与 x2y2 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 m1、m 2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为 R。F 为作用于金属杆 x1y1 上竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。- 4 -4【解析】 （1）设 x1y1 与 x2y2 匀速向上运动的速度为 ，根据右手定则，x 1y1 与 x2y2 切割磁v感线产生的感应电动
9、势都向左，在回路中的方向相反，大小分别为 和 ，vBlEvl因为 ，所以总电动势为 ，方向与 x2y2 产生的感应电动势相同，感应12llBE)(12电流为 , 方向为顺时针，如下图。设 x1y1 与 x2y2 受到的安培力分别为RvlBEI)(12、 ,根据左手定则判断安培力的方向为 向上、 向下，大小为 =1F2 1F21FBIl、 = ，受力图如下图。RvllB1)(2FBIlRvll22)(根据力的平衡，有： TgmF1=T2gm联立以上各式，解得： R，所以作用于两杆的重力的功率的大小为 P vF （ m1 m2） gB2（ l2 l1） 2R（m 1m 2）g。F （ m1 m2）
10、 gB2（ l2 l1） 2- 5 -5（2）回路电阻上的热功率 , 将以上 式代入得 RvlBEp212)(vp2RF （ m1 m2） gB（ l2 l1）答案：P R（m 1m 2）gF （ m1 m2） gB2（ l2 l1） 2p 2RF （ m1 m2） gB（ l2 l1）【点评】两杆切割磁感线产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势为，方向与感应电动势大的相同，感应电流为 , 方向为vlE)(12 RvlBEI)(12总电动势的方向。两杆受到的安培力分别为 、 ,根据左手定则判断安培力的方向，大1F2小为 = 、 = 。1FBIlRvll12)(2BIlRvll1)(例
11、 4. 2004 年高考广东卷第 15 题15(15 分) 如图，在水平面上有两条平行导电导轨 MN、PQ,导轨间距离为 ，匀强磁场垂l直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为 B，两根金属杆 1、2 摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为 和12m、,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为 ，已知：杆 1 被外力拖动，以1R2、 恒定的速度 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆 2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻0v可忽略，求此时杆 2 克服摩擦力做功的功率。【解析】 根据右手定则，杆 1 产生的感应电流方向向上，则杆 2 中电流方向向下，杆 2受的安培力向右，速度向右，
12、设为 ，由于两杆运动时产生的感应电动势在回路中的方向v相反，所以，总感应电动势为 )(0BlE感应电流 21RIM 2 1 N0vP Q- 6 -6杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力， gmBlI2联立以上 3 式解得： v)(2120RlBgm导体杆 2 克服摩擦力做功的功率 vP2解得 )(21202lgvP【点评】本例中杆 2 中由于杆 1 产生的感应电流流过而受安培力，才产生运动从而产生感应电动势，因为杆 2 产生的感应电动势与杆 1 产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总感应电动势为 ，感应电流为 ，安培力为 =)(0vBlE21RIF,两杆受的安培力大小相等、
13、方向相反，对杆 1，是阻力，对杆 2，是210)(RlvBIl动力。如维持匀速运动，杆 2 的速度 必小于杆 1 的速度 。v0v例 5.（2010 年南京市三模第 15 题）如图所示，两根足够长的平行导轨由倾斜和水平两部分连接组成，导轨间距 ，倾斜mL1角 ，水平部分处于磁感应强度 的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左045TB1边界 MN 与导轨垂直，金属棒 ab 质量 ，电阻 ,金属棒 cd 质量kgm2.01R，电阻 ,导轨电阻不计。两棒与导轨间动摩擦因数 。开始时，kgm2.032R 2.0棒 ab 放在斜导轨上，与水平导轨高度差 ，棒 cd 放在水平导轨上，距 MN 距离为 ，h
14、1 0s两棒均与导轨垂直，现将 ab 棒由静止释放。取 ，求：2/0smg（1） 棒 ab 运动到 MN 处的速度大小；（2） 棒 cd 运动的最大加速度；（3） 若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒 cd 距 MN 的最小距离。- 7 -7解：（1）根据动能定理，对 ab 棒有： ，2010011 45sincovmhgmh解得： smv/40（2）棒 ab 运动到 MN 处，棒 cd 运动的加速度最大， , ,所以0BLEm21REIBILF210RvLN1342agF2代入数据，解得 。2/3sm（3）若要不相碰，两杆最终速度相等，设为 ，因两棒都是在大小相等的安培力作用下，v所以两棒
15、的加速度大小任何时刻都相等，所以 ab 棒速度的减小量等于 cd 棒速度的增加量，即 ，所以 ，速度的变化为 。v0021v021设某时刻，ab 棒速度为 ，cd 棒速度为 ，则该时刻回路的感应电动势为1v，电流为 ,安培力为 ，加速)(21vBLE)(2121RBLI )(2121vRLBF度为 ，对短时间 ，速度)(45)(3.0)()( 21212121 vvvRma t的变化为 ，当速度变化为 时，ttv4521 t0，因为这就是在这段时间内 ab 棒壁 cd 棒多运动的位移，所以021)(s。mvs6.540归纳总结：1. 电磁感应中“轨道”中的“双杆运动”问题，或者由于两杆的长度不同（如例 3） ，或- 8 -8者由于两杆的速度不同（如例 2、例 4） ，两杆产生的感应电动势往往不等。2. 两杆产生的感应电动势的方向是否相同，不是看空间方向（如力的方向） ，而是看回
