《角函数课时》ppt课件

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1、第五章 三角函数,第十课时 解三角形的应用,知识梳理,一、实际问题中的相关术语、名称 1方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角(如下图(1) 2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏北60等 3仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角(如下图(2),二、用正、余弦定理解决实际问题 距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等,基础自测,1某市在“旧城改造”中计划在一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 ( ) A450a元

2、B225a元 C150a元 D300a元,C,2(2011年合肥模拟)据中新社2010年9月25日报道，强台风“凡亚比”在广东登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给该区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，树尖折成与底面成45角，树干也倾斜为与底面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树杆底部的距离是 ( ),A,3(2011年杭州模拟)如右图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得 BCD15，BDC30，CD30米，并在点C 测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_米,解析：由正弦定理得： BC 15(米) 在Rt

3、ABC中，ABBCtan 60 答案：15,4(2010年成都模拟)代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续_小时,2.5,如右图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号),思路分析：准确理解方位角的含义，根据所

4、给方位角可求得三角形的内角，又BC边可求，于是根据正弦定理可求AC即货轮与灯塔之间的距离,解析：在ABC中，ABC15512530， BCA18015580105， BAC1803010545，BC 5025，由正弦定理，得 AC (海里)， 答：船与灯塔间的距离为 海里,点评：航海、航空常需测量角度，利用方位角、方向角、经度、纬度等求三角形的内角是关键,变式探究,1(2010年佛山二模)已知海岸边A，B两海事监测站相距60海里，为了测量海平面上两艘油轮C，D间距离，在A，B两处分别测得CBD75，ABC30，DAB45，CAD60(A，B，C，D在同一个水平面内)请计算出C，D两艘轮船间距离

5、(结果保留根式),解析：在ABD中，由正弦定理得： AD 同理，在ABC中，由正弦定理得：,计算出AD，AC后，再在ACD中，应用余弦定理计算出C，D两点间的距离：,C，D两艘轮船相距30 海里,2(2010年贵阳调研)如右图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB100米 (1)求sin 75； (2)求该河段的宽度(结果保留根号),解析：(1)sin 75sin(3045) sin 30cos 45cos 30sin 45 (2)CAB75，CBA45 ACB180CABCBA60， 由正弦定理得： B

6、C,如右图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度 在RtBDC中， BCDCBA45，sinBCD ，,BDBCsin 45 sin 45 该河段的宽度 米,测量实验探究：用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度,思路分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180两角与ACa一边，故可以利用正弦定理求解EA.,解析：在ACE中，ACBDa，ACE， AEC

7、，根据正弦定理，得AE 在RtAEG中，EGAEsin EFEGb b， 答：气球的高度是 b.,点评：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EGx，在RtEGA中，利用cot 表示AG；在RtEGC中，利用cot 表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFCDb，故EF高度可求,变式探究,3测量实验探究： 如右图所示：现有测角仪、皮尺两种测量工具，有一底部B不可到达的铁塔AB，A为塔的最高点设计一种测量铁塔AB高度的方法及计算公式,解析：(1)如下图：先选取一条水平基线HG，使H、G、B三点共线，在H、G两点用测角仪测出A的仰角分别是、 ，量出CDa，测角仪器的高度是

8、h, 即可求出铁塔的高AB.在ACD中，根据正弦定理可得：AC ，ABAEhACsin h h.,在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如右图)的东偏南(cos )方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？,思路分析：本题关键是研究台风中心与城市O的距离与台风侵袭的范围圆形区域的半径的大小关系，当台风中心与城市O的距离小于台风侵袭的范围圆形区域的半径时，该城市受到台风的侵袭,解析：设经过t小时台

9、风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，由题意可得 OP300，PQ20t， OQr(t)6010t， 因为cos ， 设OPQ45，,所以sin ，cos . 由余弦定理可得：OQ2OP2PQ22OPPQcos 即(6010t)23002(20t)2230020t ， 即t236t2880, 解得t112，t224，t2t112. 答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时,点评：与几何有关的计算题的解题思路是：理解问题的实际背景，转化成解三角形问题要注意采集信息，利用正弦、余弦定理等知识建立数学模型求解，注意取近似值或估算,变式探究,4据气象台预报，距S岛正东方向3

10、00 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响 问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由,思路分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化，S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.,解析：设台风中心经过t小时到达B点， 由题意，SAB903060， 在SAB中，SA300，AB30t，SAB60， 由余弦定理得SB2SA2AB22SAA

11、BcosSAB 3002(30t)2230030tcos 60 若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270， 即SB22702，,化简整理得，t210t190，解之得5 t5 所以从现在起，经过5 小时S岛开始受到影响，(5 )小时后影响结束 持续时间：(5 )(5 )2 小时 答：S岛受到台风影响，从现在起，经过(5 )小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 小时,应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤 1分析：审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图 2建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程(组) 3求解：选择正弦、余弦定理及面积公式

12、等有序的解出三角形，求得数学模型的解 4检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解,1(2010年福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由,解析： 解法一：(

13、1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，则,即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小,(2)设小艇与轮船在B处相遇，则 v2t2400900t222030tcos(9030)，,故v30时，t取得最小值，且最小值等于 ，,此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向 设小艇与轮船在C处相遇(如图(2) 在RtOAC中，OC20cos 3010 ， AC20sin 3010. 又AC30t，

14、OCvt. 此时，轮船航行时间,即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)猜想v30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时ADDO30t. 又OAD60，所以ADDOOA20，解得t ， 据此可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇,证明如下： 如右图(3)， 由(1)得OC10，AC10， 故OCAC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时， 故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇 设COD(090)， 则在RtCOD中，CD10 tan ，OD,由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t,从而，3090. 由于30时，tan 取得最小值，且最小值为 .,于是，当30时，t 取得最小值，且最小值为 .,解法三：(1)同解法一或解法二 (2)设小艇与轮船在B处