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1、第五章 三角函数,第十课时 解三角形的应用,知识梳理,一、实际问题中的相关术语、名称 1方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角(如下图(1) 2方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西45,西偏北60等 3仰角与俯角:指视线与水平线的夹角,视线在水平线上方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角(如下图(2),二、用正、余弦定理解决实际问题 距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等,基础自测,1某市在“旧城改造”中计划在一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮至少要 ( ) A450a元
2、B225a元 C150a元 D300a元,C,2(2011年合肥模拟)据中新社2010年9月25日报道,强台风“凡亚比”在广东登陆台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给该区带来严重的灾害,不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后,树尖折成与底面成45角,树干也倾斜为与底面成75角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树杆底部的距离是 ( ),A,3(2011年杭州模拟)如右图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得 BCD15,BDC30,CD30米,并在点C 测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB_米,解析:由正弦定理得: BC 15(米) 在Rt
3、ABC中,ABBCtan 60 答案:15,4(2010年成都模拟)代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60的400千米的海面上形成,预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动,离台风中心350千米的范围都会受到台风影响,则A码头从受到台风影响到影响结束,将持续_小时,2.5,如右图,货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155的方向航行为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为125.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为80.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号),思路分析:准确理解方位角的含义,根据所
4、给方位角可求得三角形的内角,又BC边可求,于是根据正弦定理可求AC即货轮与灯塔之间的距离,解析:在ABC中,ABC15512530, BCA18015580105, BAC1803010545,BC 5025,由正弦定理,得 AC (海里), 答:船与灯塔间的距离为 海里,点评:航海、航空常需测量角度,利用方位角、方向角、经度、纬度等求三角形的内角是关键,变式探究,1(2010年佛山二模)已知海岸边A,B两海事监测站相距60海里,为了测量海平面上两艘油轮C,D间距离,在A,B两处分别测得CBD75,ABC30,DAB45,CAD60(A,B,C,D在同一个水平面内)请计算出C,D两艘轮船间距离
5、(结果保留根式),解析:在ABD中,由正弦定理得: AD 同理,在ABC中,由正弦定理得:,计算出AD,AC后,再在ACD中,应用余弦定理计算出C,D两点间的距离:,C,D两艘轮船相距30 海里,2(2010年贵阳调研)如右图,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点A、B,观察对岸的点C,测得CAB75,CBA45,且AB100米 (1)求sin 75; (2)求该河段的宽度(结果保留根号),解析:(1)sin 75sin(3045) sin 30cos 45cos 30sin 45 (2)CAB75,CBA45 ACB180CABCBA60, 由正弦定理得: B
6、C,如右图过点B作BD垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度 在RtBDC中, BCDCBA45,sinBCD ,,BDBCsin 45 sin 45 该河段的宽度 米,测量实验探究:用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a,测角仪的高度是b,求气球的高度,思路分析:在RtEGA中求解EG,只有角一个条件,需要再有一边长被确定,而EAC中有较多已知条件,故可在EAC中考虑EA边长的求解,而在EAC中有角,EAC180两角与ACa一边,故可以利用正弦定理求解EA.,解析:在ACE中,ACBDa,ACE, AEC
7、,根据正弦定理,得AE 在RtAEG中,EGAEsin EFEGb b, 答:气球的高度是 b.,点评:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EGx,在RtEGA中,利用cot 表示AG;在RtEGC中,利用cot 表示CG,而CGAGCABDa,故可以求出EG,又GFCDb,故EF高度可求,变式探究,3测量实验探究: 如右图所示:现有测角仪、皮尺两种测量工具,有一底部B不可到达的铁塔AB,A为塔的最高点设计一种测量铁塔AB高度的方法及计算公式,解析:(1)如下图:先选取一条水平基线HG,使H、G、B三点共线,在H、G两点用测角仪测出A的仰角分别是、 ,量出CDa,测角仪器的高度是
8、h, 即可求出铁塔的高AB.在ACD中,根据正弦定理可得:AC ,ABAEhACsin h h.,在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如右图)的东偏南(cos )方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风侵袭?受到台风侵袭的时间有多少小时?,思路分析:本题关键是研究台风中心与城市O的距离与台风侵袭的范围圆形区域的半径的大小关系,当台风中心与城市O的距离小于台风侵袭的范围圆形区域的半径时,该城市受到台风的侵袭,解析:设经过t小时台
9、风中心移动到Q点时,台风边沿恰经过O城,由题意可得 OP300,PQ20t, OQr(t)6010t, 因为cos , 设OPQ45,,所以sin ,cos . 由余弦定理可得:OQ2OP2PQ22OPPQcos 即(6010t)23002(20t)2230020t , 即t236t2880, 解得t112,t224,t2t112. 答:12小时后该城市开始受到台风侵袭,受到台风侵袭的时间有12小时,点评:与几何有关的计算题的解题思路是:理解问题的实际背景,转化成解三角形问题要注意采集信息,利用正弦、余弦定理等知识建立数学模型求解,注意取近似值或估算,变式探究,4据气象台预报,距S岛正东方向3
10、00 km的A处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响 问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由,思路分析:设B为台风中心,则B为AB边上动点,SB也随之变化,S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断,则需表示SB,可设台风中心经过t小时到达B点,则在ABS中,由余弦定理可求SB.,解析:设台风中心经过t小时到达B点, 由题意,SAB903060, 在SAB中,SA300,AB30t,SAB60, 由余弦定理得SB2SA2AB22SAA
11、BcosSAB 3002(30t)2230030tcos 60 若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|270, 即SB22702,,化简整理得,t210t190,解之得5 t5 所以从现在起,经过5 小时S岛开始受到影响,(5 )小时后影响结束 持续时间:(5 )(5 )2 小时 答:S岛受到台风影响,从现在起,经过(5 )小时,台风开始影响S岛,且持续时间为2 小时,应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤 1分析:审题,理解题意,分清已知与未知,根据题意作出示意图 2建模:确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素,列方程(组) 3求解:选择正弦、余弦定理及面积公式
12、等有序的解出三角形,求得数学模型的解 4检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解,1(2010年福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由,解析: 解法一:(
13、1)如图(1),设相遇时小艇航行的距离为S海里,则,即小艇以30 海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小,(2)设小艇与轮船在B处相遇,则 v2t2400900t222030tcos(9030),,故v30时,t取得最小值,且最小值等于 ,,此时,在OAB中,有OAOBAB20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇 解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向 设小艇与轮船在C处相遇(如图(2) 在RtOAC中,OC20cos 3010 , AC20sin 3010. 又AC30t,
14、OCvt. 此时,轮船航行时间,即小艇以30 海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小 (2)猜想v30时,小艇能以最短时间与轮船在D处相遇,此时ADDO30t. 又OAD60,所以ADDOOA20,解得t , 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇,证明如下: 如右图(3), 由(1)得OC10,AC10, 故OCAC,且对于线段AC上任意点P,有OPOCAC,而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时, 故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含C)的任意位置相遇 设COD(090), 则在RtCOD中,CD10 tan ,OD,由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t,从而,3090. 由于30时,tan 取得最小值,且最小值为 .,于是,当30时,t 取得最小值,且最小值为 .,解法三:(1)同解法一或解法二 (2)设小艇与轮船在B处