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1、P-1/13,第2章 弹性力学平面问题有限单元法,2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充,P-2/13,2.8.1 几个问题的补充,一、变厚问题 各单元取不同t。 二、不同材料问题 各单元取不同E, 三、平面应力与平面应变问题 在前面三角形单元的推导中，我们假定其为平面应力问题。工程中，还有另一类情形平面应变状态。例如，在对坝体或遂洞等长柱体进行分析时，如果取xoy坐标平面与其横截平面行,而 Z轴与其长度方向一致（如图）。
2、,P-3/13,那么，由于所考察物体在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿长度方向变化的荷载作用，就可认为各个横截面应处于同样的状况，即近似认为Z方向的位移分量W=0, (位移与Z无关),P-4/13,于是，由弹性力学知，在六个应力分量中也仅有三个独立分量x ,y 和xy, 而 不独立。 并可得到平面应变问题的物理方程。,P-5/13,比较平面应力问题：,得知只需把应力问题中的E换成 ，换成 即得应变问题。 所以在这类问题的程序设计中，通常可以同时求解应力和应变问题，只需设置一开关变量便可以实现。,P-6/13,四、各向异性材料 在弹性矩阵D中反映。如正交各向异性时的弹性矩阵D为
3、：,五、设置不同类型的单元 在工程中，同一构件经常要用到一种以上材料。如利用角、槽钢等在开洞板内作加强筋用。另一种情况是钢筋混凝土构件的全过程分析中，纵向受拉筋的单元划分，如图。,P-7/13,混凝土被划成若干平面三角形单元，而将纵向受力钢筋（或箍筋）当作线单元（图中红线所示），也可把钢筋等效成与混凝土叠合的三角形单元，但此时均为两种不同材料。 有限元分析时，可认为结构是由若干（面）单元（三角形或矩形）和线（杆）单元（二力杆）共同组成，划分网格时，若碰到线单元，便将结点取在线单元上，使面元和杆元使用共同的结点。,混凝土单元,钢筋单元,P-8/13,引进杆元后，并不增加结构的自由度（未知数），只
4、是装配总刚和计算过程中多了杆元单刚。如本来是三个三角形单元的结点，可能还有两个杆元汇交如同一个结点。,每个节点2个自由度,P-9/13,应力矩阵,杆元单刚的一般形式可取为：,P-10/13,六、温度应力问题,通常是将各单元由于温度改变所产生的应力当作外力，化成等效结点荷载加到右端项中求解。,式中：,P-11/13,2.8.2 几种单元计算结果的比较,T3 T6 Q4 Q8 Q9,A,P-12/13,vA 计算结果与弹性力学解的比值,P-13/13,提高计算精度的途径,为了提高计算精度，可采取如下措施 1）细分网格 2）采用高精度单元 增加单元节点数，如：T6、Q8等 增加每个节点自由度，如：带
5、旋转自由度的单元 增加内部自由度的单元，如：wilson非协调元 基于其他变分原理的单元，如：应力杂交元、混合杂交元、广义协调元等,P-14/13,精确解：4.04,A,vA 计算结果的比较,P-15/13,2.8.3 单元畸形,精确解：4.03,一、算例,网格畸变敏感现象： 敏感单元 不敏感单元,P-16/13,2、单元畸形分类,（1）边长比畸形 建议小于5,（2）角度畸形 建议60120,（3）曲率畸形 建议夹角小于120,P-17/13,（4）凹四边形 禁止出现,P-18/13,（5）单元中间结点的畸形 尽量在中点附近,P-19/13,2.8.4 网格协调性,如果网格中沿所有单元之间的边
6、界的位移都是连续的，则称网格为协调的。否则称为不协调的，应尽量避免。,1）低次单元与高次单元相连,解决办法： a 在整个问题中使用相同的单元类型,P-20/13,b 使用过渡单元,2）跨接单元,解决办法：不出现,P-21/13,3）节点自由度数不同,梁单元退化成杆单元（桁架）,解决办法： a 采取带旋转自由度的单元 b 采用约束方程,P-22/13,2.8.5 应力计算结果的性质及处理,一、 应力近似解的性质,应变、应力的精度比位移低一阶。 应力解的近似性体现在以下几个方面： （1）在单元内部一般不满足平衡方程； 在单元内部一般不满足平衡方程； （2）单元与单元之间一般不连续； 单元与单元之间
7、一般不连续； （3）在力的边界条件上一般不满足力的边界条件；,P-23/13,二、应力计算应力精度的改进,1. 取相邻单元应力的平均值,常用于3节点三角形单元。单元内应力是常数。由于应力近似解总在真正解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此二个单元合成较大四边形单元形心处的应力。这样处理十分逼近真正解，能取得良好的结果。 可采用算术平均，也采用面积加权平均 厚壁园球壳的有限元计算模型及结果见下图。,P-24/13,厚壁园球壳的有限元计算模型及结果,P-25/13,2. 取围绕节点各单元应力的平均值,这样得到应力值是围绕该节点的有限区域的应力平均值。,P-26/13,3. 总体应力磨平 位移
8、有限元解得的应力场在全域上是不连续的，可以用总体应力磨平的方法来改进结果，得到全域连续的应力场。 方法：构造一个改进的应力解，此改进解在全域是连续的，改进解与有限元法求得的应力解*应满足加权最小二乘的原则。（用到泛函）,缺点：计算工作量十分庞大，相当于进行二次有限元计算，一次求位移场，一次求应力场。,P-27/13,P-28/13,4. 单元应力磨平 为了减少改进应力结果的计算工作量，可以采用单元应力的局部磨平。单元足够小时，二者相差很小。,参见：王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法（第二版），清华大学出版社，1997,一个单元取权系数C=1,P-29/13,应力磨平函数常采取高斯积分点
9、外推法,计算步骤： （1）先计算高斯积分点的应力值 （2）对高斯积分点的值进行双线性插值（外推）的到节点和单元内部其他点的应力值,P-30/13,算例：,P-31/13,2.8.6 结构对称性和周期性的利用,镜面对称结构（具有对称面的结构）,轴对称结构,旋转周期结构,重复周期结构,好处： 1）简化模拟过程和建模时间 2）减少总自由度数，减少计算时间，减少数值误差,P-32/13,一、镜面对称结构（具有对称面的结构） 几何形状、支承条件和材料性质都对称于某平面的结构。 任何载荷可分解为对称载荷和反对称载荷，于是问题分解为对称问题和反对称问题。 对称问题：载荷对称于该平面的镜面对称结构问题。 反对称问题：载荷反对称于该平面的镜面对称结构问题。,P-33/13,二、轴对称结构 荷载轴对称时可采用轴对称单元。 荷载非轴对称时一般看成三维问题，某些特殊情况下可把荷载分解为轴对称与镜面对称，分别计算再叠加。 三、周期性结构 可采用子结构法,
