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1、关于特征值与特征向量的求解方法与技巧摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。1 引言物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值
2、才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行了系统的归纳，给出了两种简易方法。一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵 A 的特征方程 的全部特征根(互异) ，而求相应的0AfI特征向量的方法则是对每个 求齐次线性方程组 的基础i 0iIAX解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 矩阵运算 ， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而
3、且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。2 方法之一： 列行互逆变换法定义 1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1. 互换 i、j 两列 ，同时互换 j、i 两行 ；ijcjir2. 第 i 列乘以非零数 ， 同时第 i 行乘 ；ik1ick3. 第 i 列 k 倍加到第 j 列 ， 同时第 j 行- k 倍加到第 i 行jick。ijr定理 1 复数域 C 上任一 n 阶矩阵 A 都与一个 Jordan 标准形矩阵相似， 其中12,
4、.rkkJdiagJ称为 Jordan 块， 并且110.0.0ki kiJ12rkn这个 Jordan 标准形矩阵除去其中 Jordan 块的排列次序外被矩阵 A 唯一确定， J 称为 A 的 Jordan 标准形。定理 2 A 为任意 n 阶方阵, 若 其中TAJIP 一 系 列 列 行 互 逆 变 换是 Jordan 标准形矩阵, 12,.rkkJdiagJ， ， 。则1rP 1,iiik 12rkn为 A 的特征值， 为 A 的对应特征值 的特征向量。iiki证: 由定理 1 可知， 任一矩阵必相似于一约当阵， 按定理 2 中化简方法， 有矩阵 的转置矩阵 相似于一约当矩阵 J， 即存
5、在可逆T矩阵 P， 使 ， 故 其中PAJTAP1r 110.0.0ki kiJ110.0.0Tki kiJ所以 11111Tkr rrJA 故有 ,ii所以 为 A 的特征值， 为 A 的对应特征值 的特征向量。i iik i为了运算的方便，约定：（） 表示矩阵第行倍加到第行；irk （） 表示矩阵第列倍加到第列。ic 例 1 求矩阵 的特征值与特征向量。2103A解： 13 21211003 21044. .10 1001c cr rAI 323 1214201204.110120 crcr 所以特征值 ， 对应特征值 的特征向量123,412，对应 的特征向量 。133注: 解答过程中(
6、1)处的= - 1 是由方程 2+ 3k+ ( 2+ k) ( - k)=0确定的，(2)处的 k= - 1 是由方程 k= - 1+ k+ ( 3+ k) ( - k) = 0确定的，(3)处的 k= -1|2 是由方程- 1k+ 2k+ 4( - k) = 0 确定的。3. 方法之二：列初等变换法定理 3 设 A 是 n 阶方阵, I 为 n 阶单位阵 ， 为待求特征值。若对矩阵 施行一系列列初等变换， 可得到下三角矩阵 M( )， I 则令 M ( )的主对角线上元素乘积为零， 求得 值即为矩阵 A 的特征值。证明: 设1212212-nnnnaaIA 考察 的第一行元素: 若 不全为零
7、( )， 任取其I1ia,i一, 记为 ，通过列初等变换化为 ；若1b110*bc， 则 就具有这种形式， 再对 进行相应的102,ian IA列初等变换，化为 ，再对 进行类似的计算, 直至 化为三22*bc2cIA角矩阵 ， 由以上运算可知, 12100=*Mnnbb 与 M ( )等价, 则 与 M ( )有相同的初等因子，定理IAIA得证。由定理 3 求出 i ( i= 2, , n) ， 将每个特征值 i 代入 M( )得 M ( 1 ) , 再由定理 4 求出相应的特征向量。定理 4 对矩阵 I- A 施行一系列列初等变换 ，化为列阶梯形， 同时对单位阵也施行相应的列初等变换， 即
8、存在 n 阶可逆阵 Qn, n，使其中 =r， 为满秩矩阵， 2nrnnIACQ ()RIAnrC ， 则分块矩阵 的 n-r 个 n 维列向量即为()nnrrQnrQ矩阵 A 的特征值 对应的特征向量。1证明: 对矩阵 , 经过有限次初等变换化为标准形，即存在 n()IA阶可逆阵 及 使 = ， 于是nPnQ()nnPIAQrrnnIQ， 根据分块矩阵的运算1()nnIArrnI()nrrIQ11nrnrPrrnnIQ()()nrnrnrnrIAIAQC0nr()rnrIQI故 Qn, n- r 的 n- r 个 n 维列向量即为矩阵 A 的特征值 i 对应的特征向量， 又因为 Qn, n
9、可逆， 知这些特向量线性无关。证毕。由定理 3、定理 4 可知计算特征值与特征向量的步骤:( 1)计算 一系列初等变化 ， 其中 C( )为含 的下三角IA CQ 矩阵, Q ( )为 I 经过初等列变换得到的矩阵；( 2)令 C( )主对角线元素之积为零，求出根即为特征值 i ( i= 1, 2, , n) ；( 3)将求出的 i ( i= 1, 2, , n)代入 中为 , 再进行CQ ii列初等变换, 当 C ( )化为列阶梯形， 当非零列向量个数为 r 时， Q ( )中后的 n- r 个列向量即为 i 对应的特征向量。例 2 重做例 1解: 2131322 1033010011010
10、345401012 cccIAI 31020420113c CQ 令 C ( )主对角线元素之积为零， 即 = 0， 特征值241 = 2 = 2， 3 = 4。当 1 = 2 = 2 时， =1CQ 0201 R( C ( 1 ) = 2， 于是 1 = 2 = 2 对应的特征向量为；1当 3= 4 时， = ，33CQ 102011 R( C ( 3 ) = 2，于是 3 = 4 对应的特征向量为 。214. 结束语通过以上例题求解方法可以看出，用列行互逆变换法和列初等变换法求矩阵的的特征值与特征向量简捷实用，能收到事半功倍的效果，在许多领域都有着具体的应用。参考文献 1赵树原. 线性代数M . 北京: 中国人民大学出版社. 1997 2北京大学数力系几何与代数教研室. 高等代数M . 北京: 人民教育出版社. 1988 3同济大学数学教研室. 线性代数M . 北京: 高等教育出版社. 19994孟道骥 . 高等代数与解析几何M .北京：科学出版社，19985刘国祺等.利用矩阵的初等变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解J .数学通报，1996，（2）：40-42
