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1、复变函数第七章学习指导一、 知识结构 7.1.34.7.6,nzazbwzweLncd共 形 影 射 概 念共 形 影 射 的 基 本 理 论 黎 曼 定 理 定 理 定 理边 界 对 应 定 理 定 理保 域 性 定 理保 角 性 定 理保 形 性 定 理解 析 函 数 的 影 射 特 征 的 影 射 性 质共 形 影 射 基 本 问 题 举 例二、 学习要求 理解解析函数的映射性质； 了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质； 理解分式线性变换的映射性质； 会求将区域 映射为 的共形映射 。G )(zfW三、 内容提要解析函数的保域性定理 7.1 若函数 在区域 内解析，且不是一
2、个常数，则 的象)(zfw G是区域)(Gf解析函数的保角性定义 7.1 设映射 在区域 内连续，若它使通过点 的任意二有向连)(zfGz0续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点 是保角的0若映射 在区域 内的每一点都是保角的，则称该映射为区域 内的保角映)(zfw G射，或称该映射在 内是保角的G定义 7.2 若映射 在区域 内是单叶且保角的，则称该映射为区域 内的)(zfG保形映射，或称该映射在 内是保形的定理 7.2 若函数 在区域 内解析，则它在导数不为零处是保角的)(fw定理 7.3 若函数 在区域 内单叶且解析，则它在 内是保角的)(zfwGG单叶解析函数的保形性定理
3、7.4 若函数 在区域 内单叶且解析，则)(f 是区域 内的保形映射，且 的像 为区域；)(zf )(f 的反函数 在 内单叶且解析，并有w)(1wfzG Gzfzff )(,)( 0001几个初等函数的映射性质 ( 为常数)的映射性质：hzw是一个平移变换在复平面处处是保角的这是因为，在复平面上处处有 01w将圆周映射为圆周 ( 为常数，且 )的映射性质：kz0k是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加在复平面上处处是保角的这是因为， 在复平面上处处成立0k 的映射性质：zw1该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称在复平面上除 外，处处是
4、保角的0将圆周映射为圆周对于 平面上的圆周（或直线）z 0)(2DCyBxyxA映射 zw1当 时，将圆周映射为圆周；0,DA当 时，将圆周映射为直线；当 时，将直线映射为圆周；,当 时，将直线映射为直线0DA幂函数与根式函数的映射性质：1） 幂函数为大于 1 的自然数nzw,设 为射线 ，经 映射后的像 为 平面上的射线 G0argznzwGw0argnw设 为圆周 ，经 映射后的像 为 平面上的圆周 0 将模相同而辐角相差 的整数倍的点 与 映射为同一点nzwn21z2 将 1,0,)(arg: nkkzkG映射为 2arg0:w2） 根式函数为大于 1 的自然数nz,根式函数的每个单值支
5、具有将角形区域的张角缩小的映射性质指数函数与对数函数的映射性质：1） 指数函数 zwe设 为平行于实轴的直线 ，经 映射后的像 为 平面上的一条始于G0yzGw原点的射线 0y设 为线段： ，经 映射后的像 为圆周 2,0yxzwe0ex设 为： ， 为整数，经 映射后kG)1(,kzw的像 为 平面上从原点起始沿正实轴剪开的 平面w2） 对数函数 wzLn对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质分式线性变换的映射性质称变换（7.7）dczba为分式线性变换，其中的 为复常数，且 ba, 0c（7.7）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复
6、合而成保形性定理 7.5 ( )在扩充复平面是保角的hkzw0定理 7.6 在扩充复平面是保角的zw1由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理 7.7定理 7.7 分式线性变换在扩充复平面是保形的保圆周性定理 7.8 分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的圆周或直线保对称点性定理 7.9 设 为分式线性变换，若扩充 平面上两点 与 关于圆周 对称，)(zfwz1z2c则 与 两点关于圆周 对称)(1zf2 )(cf保交比性定理 7.10 若有分式线性变换 dczbaw则 ),(),( 43214321 z其中， ,kdczbawk定理 7.11 若分式性性变换将扩充
7、复平面（ 平面）上三个互异的点 映射z 321,z为扩充复平面（ 平面）上的三点 ，则此分式线性变换就惟一确定，且可写成321,（8.11）23121232: zzw定理 7.12 若 为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单G叶、解析函数 将 映射为单位圆 ；又若对 内某一点 满足条件)(zfwDGa且 0)(af0)(af则函数 是惟一的)(zf定理 8.13 设单连通区域 与 分别是简单闭曲线 与 的内部，若函数c在 上解析，且将 双方单值的映射为 ，则函数 在 内单)(fwcGc)(zfwG叶且将 映射为 由于要求将点 映射为点 ，而关于 平面上的实轴与点 对称的点
8、是 ，z0wz关于 平面上的圆周 与点 对称的点是 ，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点 映射为点 外，还应将点 映射为点 又z因所求映射是分式线性变换，故可构造为为待定系数kzkw,为确定 ，只须利用该变换需将实轴上的点 映射为单位圆周 上的点的事k xz1w实，即当 时，有xzxkw1由此得 为任意实数,eik至此，便得为任意实数 （7.12）,0Im,ei zw经验证， （7.12）式即为所求事实上，当 时，由（7.12）式得xzxie1又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将 平面上的实轴（上半平面的边界）映射z为 平面上的圆周 （单位圆的边界） w1又
9、由于当 时，由（7.12）式得 ，而该点位于圆 中，所以，由保域z0w1w性定理（定理 7.1）可知， （7.12）式将 映射为 ，且将点 映射Imz )0(Im为点 至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求0w四、 典型例题例 1 试求将点 分别映射为点 的分式线性变换1,0,10解 令 ， ，则由（7.11）式得32zz 32wz1即为所求例 2 (1) 试求在映射 2zw下， 平面上的直线 xy及 1的像曲线 （2）在这两条曲线的交点处 2是否保角？旋转角、伸缩率是多少？解 令 iuv， ixy，则映射变为 22iiiuxyxyv(1) z 平面上的直线 1l：
10、 y在 w平面上的像曲线是 1L： 0u， 2yvu 2 1 2l 1 x 1 1 2z 图 6.12 z平 面 w平 面 y 它是 w平面上的正半虚轴； z 平面上的直线 l： x在 平面上的像曲线是 2L：241uv，它是 平面上的一条抛物线（如图 6.12） （2） xy与 1的交点为 01i，因为 00 i4i1id2i20zz e w所以映射 2z在交点 处是保角的，且旋转角为 ，伸缩率为 2。例 3 求将上半平面 映射为单位圆 的分式线性变换，且使点Imz1wz映射为点 (图 1)0(Im0w解 用构造法依题意，所求映射应将 平面上的实轴映射为 平面上的单位圆周zw1:wc例 4
11、如果分式线性映射azbcdw将 平面上的圆周 1z映射成 平面上的直线，问 a， b， c， d应满足什么条件？解 由z解得 a当 1时， c，故xOy图 1( z )vuO( w )1-1cdbcaww即22 20dcacbd要使上述方程表示 平面上的直线，只需 故分式线性映射azbcw将圆周映射成直线的充分必要条件是 c例 5 求一个保角映射，将 z平面上的弓形域 i2z， Im()0z映射成 w的上半平面 Im()0x y ()?fzw 图 6.14 1z 2z 3 Z平 面 平 面 平 面 u v 平 面 解 如图 6.14，经计算交点为 13z， 2，其中 2z处圆弧的方向角为3可考
12、虑先将 z平面上的弓形域映射成 平面（注意图中未画出 平面）的角形域，再将角形域映射成 w平面的上半平面设分式线性映射将 1映射成 平面上的点 0. 而 23z映射成 平面上的 ，于是该映射可写为 3z当 0z时 1；当 iz时，1i2，所以映射3z将弓形域映射成角形域：即为 平面上的顶点在原点，且以射线2arg3和 arg为两边的角形域 （读者可自行验证)再对 施以旋转变换2i3e，它将 平面上的角形域顺时针旋转23而成为 平面上的角形域最后，再令3w，它将 平面上的角形域映射成 w平面上的上半平面复合映射z，2i3e，3便得到 3i()z即映射3zw把 z平面上的弓形域映射成 w平面上的上
13、半平面例 6 求将 映射为 的分式线性变换，使得点 映射为点1 )1(z（图 2） 0w解 用构造法依题意，所求映射应将 平面上的单位圆周 映射为 平面上z1:zcw的单位圆周 1:wc由于要求将点 映射为点 ，而关于圆周 与点 对称的点是 （见图)(0wc2） ，关于圆周 与点 对称的点是 ，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，0所求变换应将点 映射为点 ，且将点 映射为点 ，又因所求变换是z 1zw分式线性变换，故可构造为为待定系数kzkw,1即 zk1令 ，得k为待定系数kzkw,1为确定 ，利用 上的点的像一定位于 上的事实，不失一般性，可取点 代入上kcc 1z式后应满足 ，即11kw于是， 为任意实数,eik于是，经验证图 2( z )vuO( w )1-1cyxO 1-1c 为任意实数 ,1,1ei zw即为所求
