复变函数lijing---6

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1、第六章 共( 保)形映射前面几章，我们通过导数、积分、级数等概念以及它们的性质与运算着重讨论了解析函数的性质和应用。本章，我们将从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。在第一章我们已经讲过函数 在几何上可以看做()wfz把 平面上的一个点集 (定义域)变到 平面上的一个点集zG(值域)的变换(或映射 )。由于解析函数具有良好的分析和*G运算性质，相应的解析函数构成的映射也会具有比较好的特性。解析函数所确定的映射是共形映射，它是复变函数论中最重要的概念之一。共形映射之所以重要，原因在于它能把比较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上去讨论。并且与物理中的许多概念有密切的联系，而且对物理学中

2、许多领域有重要的应用。如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20 世纪中期亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。下面我们先分析解析函数所构成的映射的特性，由此引出共形映射这一重要概念；然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的共形映射的性质。第一节 共形映射的概念1、一般概念： 我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数 w=f(z)在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称单叶函数。注解 1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。可以证

3、明：若函数 f(z)在区域 D 内单叶解析，那么在D 内任一点， 0.f注解 2、如果一个函数在区域 D 内单叶解析，那么它的导数在 D 内任意一点不等于零；注解 3、反之，这个定理的逆定理不成立，例如 的导数zew在 z 平面上任意一点不为零，而这个函数在整个 z 平面上不是单叶的。但可以证明：如果函数 w=f(z)在 解析，并且0，那么 f(z)在 的一个邻域内单叶解析。0)(zf 02、导数的几何意义： 设函数 w=f(z)是区域 D 内的单叶解析函数。即 w=f(z) 在区域 D 内解析， ，且 。00)(zf考虑过 的一条简单有向光滑曲线 C： 0z (),zt设 ，且 。(),t0

4、(,)tt0t作通过曲线 C 上之点 及 的割线，由于0zt1()割线的方向与向量 的方向一致，可以看出：只要当10t趋近于 时，向量 与实轴的夹角 连续变动1t0t10z10argzt趋近于极限，那么当 趋近于 时，割线确有极限位置，即tt为曲线 C 在 的切线的位置。但由光滑曲线的条件，极0z限 100lim(),tztt存在。因此下列极限也存在： 10100liargar(),tzztt即为曲线 C 在 处切线与实轴的夹角，在这里幅角()z是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的。规定：1. 就是曲线 C 在 的切线正向与实轴的夹角。0()argzt 0z2.相交于一点的

5、两条曲线 正向之间的夹角就是12与在交点处的两条切线正向之间的夹角。12C与函数 w=f(z)把简单光滑曲线 C 映射成过 的一0()wfz条简单曲线 ：(),wfztt由于 ，可见 也是一条光滑曲线；0()dfztt 它在 的切线与实轴的夹角是0000arg(t)ar()arg()ar(),fztfzt即 00wf因此， 在 处切线与实轴的夹角及 C 在 处切线与实轴0的夹角相差 。这一数值与曲线 C 的形状及在 处0arg()fz 0z切线的方向无关。假定上图中的 x 轴与 u 轴，y 轴与 v 轴的正向相同，则曲线 C 的切线正向与映射过后的 的切线的正向之间的夹角可理解为 曲线 C 经

6、过 w=f(z)映射后在 处的转动角，即0z为曲线 C 经过 w=f(z)映射后在 处的转动角，转0arg()fz wyz0vu动角的大小和方向与曲线 C 的形状与方向无关。转动角不变性设在 D 内过 还有一条简单光滑曲线 ，函0z1:()zt数 w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线 。和wf上面一样， 与 在 及 处切线与实轴的夹角分别是1C0warg()t及 101010()arg()arg(),fztfztzt所以，在 处曲线 到曲线 的夹角恰好等于在 处曲线0wC 到曲线 的夹角：100100arg()(arg()arg()r(),fztfztztzt因此，用单叶解析函数作映射时，曲

7、线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。 11yx0zvu0上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作的几何解释，下面再说明它的模的几何意义。根据假设，我们有 00|()|()|lim,zfzf由于 是比值 的极限，它可以近似地表0|()|fz0|示这种比值。在 w=f(z)所作映射下， 及0|z分别表示 z 平面上向量 及 w 平面上向量0|()|fz的长度，这里向量 及 的起点分00()fz别取在 及 。当较小 时， 近似地0z()f|z0|)|f表示通过映射后， 对 的伸缩倍数，而0|()|f0|z且这一倍数与向量 的方向无关。我们把 称为曲z 0()|f

8、z线 C 在点 的伸缩率。0是经过 w=f(z)映射通过的任何曲线 C 在点 的|()|fz 0伸缩率，与曲线 C 的形状及方向无关。伸缩率不变性现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设 w=f(z)是在区域 D 内解析的函数，那么 w=f(z)把 的一个邻域内00,()wfz0任一小三角形映射成 w 平面上含 的一个区域内的小曲边0三角形，此曲边小三角形以 为其一个顶点。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。此外，w=f( z)还把 z 平面上半径充分小的圆近似地映射成圆0|z00|()|(),wf所以，我们把单叶解析函数所确定的映射称为共形映

9、射，或称为保形映射或保角映射。它在每一点保角，并且具有一定的伸缩率。第二节 分式线性映射分式线性映射是共形映射中比较简单但又很重要的一类映射。它由下面形状的分式线性函数定义： ,azbwcd其中 是复常数，而且 。否则，有,abcd02,zc不满足共形映射的条件，即此时 不能构成共形映azbwd射。特别地，当 时，即为线性函数，我们也称它为整0c线性函数。若用 乘 的两边，可得czdazbwcd0若取定 w，则上式关于 z 是线性的，而取定 z 时，它关于w 也是线性的，因此我们称上式是双线性的，故而也称分式线性映射为双线性映射。分式线性函数的反函数为 ,dwbzca它也是分式线性函数，其中

10、。因此，分式()0c线性映射的逆映射也是分式线性映射。易知，两个分式线性映射的复合，仍是分式线性映射。设 ( ), ( ), 1abwcd10c2azbcd220c将后一式代入前一式，得( )zc122()(abcab我们也可以把一个一般形式的分式线性映射分解成一些简单映射的复合。设 (c0)azbwd用除法可把它化为 1()abczc令 ，那么121,zcdz( 为常数)2wAB与当 c=0 时， ab() dzw因此，一般分式线性函数是由下列四种简单函数复合(叠合)而得的(将 w 平面看成是与 z 平面重合的)：（1） 、 （ 为一个复数） ；z（2） 、 （ 为一个实数） ；ei（3）

11、、 （r 为一个正数） ；zw（4） 、 。1把 z 及 w 看作同一个复平面上的点，则有：（1） 、 确定一个平移；z（2） 、 确定一个旋转；ei（3） 、 确定一个伸缩映射；rzw（4） 、 是由映射 及 叠合而得。前者称为关于1z11w单位圆周的对称映射，并称 是关于单位圆周的对称点；与后者称为关于实轴的对称映射。定义：（关于圆周的对称点）设 C 为以原点为中心，r为半径的圆周。在以圆心为起点的一条是射线上，如果有两点 P 与 满足关系式2O=r:则称这两点为关于这圆周的对称点。求法：设 P 在 C 外，从 P 做圆周 C 的切线 PT，由 T 作 OP的垂线 ，与 OP 交于 ，那么

12、 P 与 即互为对称点。TP 事实上， ，所以 ，即OT:O:T=:P。2=r:规定：无穷远点的对称点是圆心 O。分式线性函数的映射性质： 1.保角性首先把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域。如果 把 及其一个邻域保形映射成 t=0 及其一)(1zft0个邻域，那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成0及其一个邻域。如果 把 及其一个邻域保形w)/1(ft映射成 t= 及其一个邻域，那么我们说 w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域。0w定理 1 分式线性函数把扩充 z 平面保形映射成扩充 w 平面。具有保角性。2.保圆性规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大

13、的圆。定理 2 在扩充复平面上，分式线性映射把圆周映射成圆周，即具有保圆性。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、伸缩映射及反演映射 复合而得，但前三个映射显然把圆zw1映射成圆，所以只用证明映射 也把圆映射为圆即可。z1在圆的方程 ,0)(2dcybxa（如果 a=0，这表示一条直线）中，代入 ,2,2 izyzxyx则得圆的复数表示： ,0dzaz其中 a,b,c,d 是实常数， 是复常数。)(21icb函数 把圆映射成为zw1,0awd即 w 平面的圆（如果 d=0，它表示一条直线，即扩充 w 平面上半径为无穷大的圆） 。 #根据保圆性，易知：在分式线性映射下，如果给定的圆周或

14、直线上没有点被映射成无穷远点，那么它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点被映射成无穷远点，那么它就映射成直线。3.保对称性设已给圆 ，如果两个有限点 及)0(|:| RzC 1z在过 的同一射线上，并且2z0，20201|zz那么我们说 及 是关于圆 C 的对称点。1z2注解 1、圆 C 上的点是它本身关于圆 C 的对称点；注解 2、规定： 及 是关于圆 C 的对称点；0引理 不同两点 及 是关于圆 C 的对称点的必要与充分条1z2件是：通过 及 的任何圆与圆 C 正交。证明：如果 C 是直线（半径为无穷大的圆） ；或者 C 是半径为有限的圆， 及 之中有一个是无穷远点，则结论显然。1z2现

15、在考虑圆 C 为 ，而 及 都是有限)0(| Rz1z2的情形。（必要性）设 及 关于圆 C 的对称，那么通过 及1z2 1z的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆 C 直交。作过 及2z的任何圆（半径为有限）C。过 作圆 C的切线，设其切0z点是 z。于是，2020120| Rzz从而 。这说明 ，而上述 C的切线恰好是圆 C 的Rz|0C半径，因此 C 与 C正交。（充分性）过 及 作一个圆（半径为有限）C，与 C1z2交于一点 z。由于圆 C 与 C正交，C在 z的切线通过圆 C的心 。显然， 及 在这切线的同一侧。又过 及 作一直0z1z2 1z2线 L，由于 L 与 C 直交，它通过圆心 。于是 及 在通过0z的一条射线上。我们有0z20201| Rzz因此， 及 是关于圆 C 的对称点。 #1z2定理 3 如果分式线性函数把 z 平面上圆 C 映射成 w 平面上的圆 C，那么它把关于圆 C 的对称点 及 映射成关于12z圆 C的对称点 及 。1w2