数值积分和数值微分yj1

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1、1,计算定积分有微积分基本公式,但很多函数找不到原函数，如,等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。,第5章 数值积分与数值微分,2,数值积分/Numerical Integration /,定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合,称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关,称为数值积分公式,数值积分问题可分解为下述三个问题：,1、求积公式的具体构造问题；(包括xi的选取和Ai的构造),3、精确性程度的衡量标准问题。,2、余项估计问题(亦即误差估计问题)；,求积公式的误差 RfI*fIf,3,1、解决第一个问题；节点xi

2、 和系数Ai如何选取，即选取原则,两个目标：,1、余项估计问题；求积公式的误差 RfI*fIf尽可能小。,2、求积公式的代数精度尽可能高。,2、解决第二个问题；依赖插值多项式的余项估计公式。,3、对于第三个问题；引进代数精度的概念,4,定义5.1 若求积公式,对(x)=xj (j=0,1,2,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不精确成立,即,则称此公式具有m次代数精度.,可见, 若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.,注意：,、求积公式的误差是计算精度的度量标志，而代数精度 是求积公式优良性能的标志。,2、求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度高， 也不代

3、表求积公式的误差小。它们没有必然联系。,5,例 1 确定形如,的求积公式，使其代数精度尽可能高。,数值求积公式为,解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则,A0+A1+A2=3,A1+3A2=4.5,A1+9A2=9,解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.,例2 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式,具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?,6,解得:A0=A2=1/3, A1=4/3.,求积公式为,当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立.,解 令公式对(x)=1,x,x2 都精确成立,则,A0+A1+A2=2,-A0+A2=0,A0+A2=2/3,当(x)=x4

4、时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立.,所以,此公式的代数精度为3.,7,例3 试确定参数A0, A1和x0, x1,使求积公式,具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?,解 令公式对(x)=1, x, x2, x3都精确成立,则,A0+A1=2,A0x0+A1x1=0,A0x02+A1x12=2/3,A0x03+A1x13=0,解得:,求积公式为,求积公式的代数精度为3。,8,5.1 插值型求积公式, 在a, b上取 a x0 x1 xn b，做 f 的 n 次插值多项式 ，即得到,节点,f (x),插值型积分公式,误差,9,梯形公式 /* trapezoidal rule*/,解

5、：逐次检查公式是否精确成立,代入 P0 = 1：,=,代入 P1 = x ：,=,代入 P2 = x2 ：,代数精度 = 1,定理：形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）,10,为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,n,则有,令,则有,称为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数.,(5.6),它不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间a,b无关。,11,例1 设(x)C2a,b,求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差.,解 计算Cotes系数,于是有,5.2 几个常用的求积公式,从几何上看:用梯形的面积近似曲边梯形的面

6、积。,所以公式,=T,也称为梯形公式,记为T.,12,称之为Simpson公式或抛物线公式，记为S.,构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),于是有,容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立,即,这时插值误差为,=S.,例2. 设(x)C4a,b,求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差.,解 计算Cotes系数,13,于是有,14,由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下:,15,（3）牛顿求积公式：,代数精度 = 3,16,例3 求n =4的Newton-Cotes公式及误差.,解 查表可得,于是有,称

7、之为Cotes公式，记为C。其误差为,其中, xk=a+kh , k=0,1,2,3,4 , h=(b-a)/4 .,代数精度 = 5,17,一般地 , Newton-Cotes公式的截断误差为,例4 用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分,的近似值。,解,IT=1/2*(4+2)=3,IS=1/6*(4+12.8+2)=3.13333,IC=1/90*(28+14)=3.14212,18,5. 3 复化求积公式,高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复化求积公式。, 复化梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,= Tn,19,可见

8、,复化梯形公式是收敛的。而且,要使|RTn| ,只要,如果记M2=,复化梯形公式的误差为,，则有,若在每个小区间上的积分采用Simpson公式,则可得到复化Simpson公式:,20, 复化 Simpson 公式：,= Sn,误差为,复化Simpson公式也是收敛的。,21,如果记M4=,，则有,复化Simpson公式也是收敛的,而且,要使|RSn| ,只要,22,例 已知函数,分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分,解,的数据表,的近似值。,I精确到数点后7位的值是0.9460831。,23,例 利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别计算上例中定积分,若使精度 =10-6,

9、问各需取n为多少?,解 因为(x)=,所以有,于是有,对复化梯形公式,若使|RTn|10-6, 只要,故应取n=167.,对复化Simpson公式,若使|RSn|10-6, 只要,故只需取n=3.,实际上,S3=0.9460838.,24,变步长求积方法,实际的积分计算问题，很难根据误差|Rf|0时,总有Rf-0.这说明,只需 h 充分小,必可满足误差要求。因此为计算积分，通常采取逐步缩小步长的办法。,利用两种步长计算积分时，为了减少计算函数f(x)的次数，通常取 h*=h/2 .例如应用复化梯形求积公式时，注意当前步长为h时,有,即先任取步长h 进行计算，然后取较小步长h* 进行计算， 如果

10、两次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去，直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。,25,可见步长减半时,这表明算出T(h)后，为算T(h/2) ，只需计算新增节点 xi-1/2=a+(i-1/2)h (i=1,n) 处的函数值f(xi-1/2) ，将它们的和乘新步长h/2，再加上T(h)的一半。,利用T(h)和T(h*)还可近似误差估计,称之事后误差估计.,26,对于复化梯形公式,n等分区间,2n等分区间,近似有：,引入龙贝格求积方法。,27,由此得,由于,一方面，若|T2n-Tn|3 ,则有近似误差|I*-T2n|.,5.4

11、Romberg求积公式,所以有,另一方面，(4T2n-Tn)/3应比Tn和T2n的近似程度更好.事实上,有,28,其中,xk=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,而且有,于是有,因此有逐次分半的复化梯形公式的递推公式：,而且，要使 ,只要,=Sn,29,复化Simpson公式能加工成更高精度的公式吗?,由复化Simpson公式的误差估计式有：,30,所以有,由此得,一方面，若|S2n-Sn|15 ,则有近似误差|I*-S2n| .,另一方面,(16S2n-Sn)/15应比Sn和S2n的近似程度更好.事实上,有,(16S2n-Sn)/15=Cn,类似地,由于,31,所以有,由此得,

12、一方面，若|C2n-Cn|63 ,则有近似误差|I-C2n|.,另一方面,(64C2n-Cn)/63应比Cn和C2n的近似程度更好.,记(64C2n-Cn)/63=Rn,称为Romberg求积公式.,32,用Tm(k)(m=1,2,3,4)分别表示把区间2k等分的复化梯形公式,复化Simpson公式, 复化Cotes公式和Romberg求积公式.,而且，要使|I*-Tm(k)| ,只要|Tm(k)-Tm(k-1)|(4m-1) (m=1,2,3,4).,则有,若对Romberg求积公式作组合也有,33,一般有：,Romberg 序列, Romberg 算法：, ?, ?, ?, ,34,实际计

13、算可按下表顺序进行,例,利用Romberg积分公式计算积分,35,解 按递推公式计算,结果如下,可见,由于|T1(4)-T1(3)|=0.0019531,应有|I-T1(4)|0.000651033.,由于|T2(3)-T2(2)|=0.0000001,应有|I-T2(3)|0.00000000666.,由于|T3(2)-T3(1)|=0.0000015,应有|I-T3(2)|0.0000000238.,由于|T4(1)-T4(0)|=0.0000068,应有|I-T4(1)|0.0000002666.,36, 理查德森外推法 /* Richardsons extrapolation */,利

14、用低阶公式产生高精度的结果。,设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + ,i 与 h 无关,Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？,即：,37,前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。,我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间a,b上适当选

15、择 n+1个节点 x0x1,x2,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？,答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。,5.5 高斯(Gauss)求积公式,38,构造具有2n+1次代数精度的求积公式,将节点 x0 xn 以及系数 A0 An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。,例：求 的 2 点 Gauss 公式。,代入 f (x) = 1, x, x2, x3,不是线性方程组，不易求解。,39,这样,高斯求积公式是,由于非线性方程组较复杂,通常对于n=2时就很难求解.,故一般不通过解非线性方程求 ，,而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.,此方法称为用待定系数法构造高斯求积公式.,利用正交多项式构造高斯求积公式.,40,定理,是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，,即,插值型求积公式(5.1)的节点,为了构造高斯求积公式的节点,有下述结论.,41,(2)求出pn(x)的n个零点x0 , x1 , xn 即为Gsuss点.,(1)求出区间a,b上权函数为的正交多项式pn(x)