《高考数学导与练（理）-第八篇 平面解析几何-第7节 圆锥曲线的综合问题-第三课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学导与练（理）-第八篇 平面解析几何-第7节 圆锥曲线的综合问题-第三课时（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1圆锥曲线的定值问题2,5,6圆锥曲线的存在性问题3,4,7,81.导学号 18702516已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C过点P(1,22),直线PF1交y轴于Q,且PF2=2QO,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.(1)解:因为椭圆C过点P(1,22),所以1a2+12b2=1,因为PF2=2QO,所以PF2F1F
2、2,则c=1,所以a2-b2=1,由得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得y0-1x0+-y0-1x0=2,得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m1),A(x1,y1),B(x2,y2),x22+y2=1,y=kx+m(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,k1+k2=2y1-1x1+y2-1x2=2(kx2+m-1)x1+(kx1+m-1)x2x2x1=2,即(2-2k)x2
3、x1=(m-1)(x2+x1)(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),由于m1,所以(1-k)(m+1)=-kmk=m+1,即y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x.综上得直线AB过定点(-1,-1).2.(2016河北衡水中学调考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x-5y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=163于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否
4、为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.解:(1)由题意得ca=12,127+5=b,a2=b2+c2,所以a=4,b=23,c=2,故椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)是定值.设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),直线PQ的方程为x=my+3,联立x216+y212=1,x=my+3所以(3m2+4)y2+18my-21=0,所以y1+y2=-18m3m2+4,y1y2=-213m2+4,由A,P,M三点共线可知yM163+4=y1x1+4,所以yM=28y13(x1+4),同理可得yN=28y23(x2+4).所以k1k2=yM163-3
5、yN163-3=9yMyN49=16y1y2(x1+4)(x2+4),因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2=16y1y2m2y1y2+7m(y1+y2)+49=-127为定值.3.导学号 18702517已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值
6、范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆方程为x22+y2=1.(2)根据题意得直线l方程为y=x-1,解方程组y=x-1,x22+y2=1得P,Q坐标为(0,-1),(43,13),则|PQ|=423,点O到直线PQ的距离为22,所以SPOQ=23.(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,因为直线l与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k0).P,Q坐标为(x1,y1),(x2,y2),由y=k(x-1),x22+y2=
7、1得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,则MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),其中x1x2,由于以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,所以|MP|=|MQ|,计算得m=k22k2+1(k0),所以0mb0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得QPTP=PQTQ?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又b
8、c=tan 60=3,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)存在.设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k0),代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=k(x0-1)=-3k3+4k2,由QPTP=PQTQ得PQ(TQ+TP)=PQ(2TR)=0,所以直线TR为线段PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+3k3+4k2=-1k(x-4k23+4k2),令y=0得T点的横坐标t=k23+4k2=13k2+4,
9、因为k2(0,+),所以3k2+4(4,+),所以t(0,14).所以线段OF上存在点T(t,0)使得QPTP=PQTQ,其中t(0,14).5.导学号 18702518已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且过点(2,22).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k0),与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得(2)2a2+(22)2b2=1,ca=32,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆
10、的方程是x24+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由y=kx+m,x24+y2=1得,(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,(*)因为直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,所以4k=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2,得2kx1x2=m(x1+x2),将(*)代入得m2=12,经检验满足题意.6.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为45的直线l交C于A,B两
11、点.当m=0时,PAPB=-412.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:|PA|2+|PB|2为定值.(1)解:因为离心率为35,所以ba=45.当m=0时,l的方程为y=45x,代入x2a2+y2b2=1并整理得x2=a22.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),PAPB=-x02-y02=-4125x02=-4125a22.又因为PAPB=-412,所以a2=25,b2=16,椭圆C的方程为x225+y216=1.(2)证明:l的方程为x=54y+m,代入x225+y216=1,并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则|PA|2=(x1
12、-m)2+y12=4116y12,同理|PB|2=4116y22.则|PA|2+|PB|2=4116(y12+y22)=4116(y1+y2)2-2y1y2=4116(-4m5)2-16(m2-25)25=41.所以|PA|2+|PB|2是定值.7.导学号 18702520已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为22,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值.若有,求出其
13、最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得(x-1)2+y2|x-2|=22,整理可得x22+y2=1.曲线E的方程是x22+y2=1.(2)有.设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=2.当m=0时,不合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2.联立y=mx+n,x22+y2=1,消去y得(m2+12)x2+2mnx+n2-1=0,=4m2n2-4(m2+12)(n2-1)=2m20,x1=-2mn+2m2+1,x2=-2mn-2m2+1,S四边形ACBD=12|AB|x2-x1|=
14、2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22,当且仅当2|m|=1|m|,即m=22时等号成立,此时n=62,经检验可知,直线l的方程为y=22x-62或y=-22x+62时四边形ACBD的面积最大,最大值为22.8.导学号 18702521已知A是椭圆M:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点,F是椭圆M的右焦点,过点F的直线l与椭圆M交于B,C两点.(1)若|OB|=|OC|,求B,C两点的坐标;(2)是否存在直线l,使得|AB|=|AC|?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)由x2+5y2=5可得x25+y2=1,所以c=2,所以F(2,0),A(0,1).由椭圆的对称
15、性可知,满足|OB|=|OC|的直线l有两种:当直线lx轴时,令x=2,y=55.所以B,C两点的坐标分别为(2,55)和(2,-55).当直线l与x轴重合时,B,C两点的坐标分别为(5,0)和(-5,0).(2)存在.易知,当直线l与x轴重合时,|AB|=|AC|,此时直线l的方程为y=0.当直线l与x轴垂直时,直线l不符合题意.当直线l与坐标轴不垂直时,设过点F的直线的斜率为k,直线l与椭圆M的交点B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点N(x0,y0),则l:y=k(x-2).联立y=k(x-2),x2+5y2=5得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,所以x1+x2=20k21+5k2.
