多所高校近世代数期末考试题库[1]

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1、 多所高校近世代数题库一、 （2011 年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“” ，错的打“” ；每小题 1 分，共 10 分）1、设 与 都是非空集合，那么 。 （ ）ABBAxB且2、设 、 、 都是非空集合，则 到 的每个映射都叫作二元运DBAD算。 （ ） 3、只要 是 到 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 。 （ ）f 1f4、如果循环群 中生成元 的阶是无限的，则 与整数加群同构。 （ ）aGG5、如果群 的子群 是循环群，那么 也是循环群。 （ ）H6、近世代数中，群 的子群 是不变子群的充要条件为 。 （ ）Hghg1;,7、如果环 的阶 ，那么 的单位元 。

2、 （ ）R2018、若环 满足左消去律，那么 必定没有右零因子。 （ ）9、 中满足条件 的多项式叫做元 在域 上的极小多项式。 （ ）)(xF)(pF10、若域 的特征是无限大，那么 含有一个与 同构的子域，这里 是整数环， 是由素数 生成的主理想。 EpZZp（ ）二、 （2011 年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1 分，共 10 分）1、设 和 都是非空集合，而 是 到 的一个映射，那么（ ）nA,2 DfnA21D集合 中两两都不相同； 的次序不能调换； A, 中不同的元对应的象必

3、不相同；n21一个元 的象可以不唯一。a,2、指出下列那些运算是二元运算（ ）在整数集 上， ； 在有理数集 上， ；ZbQab在正实数集 上， ；在集合 上， 。Raln0nZ3、设 是整数集 上的二元运算，其中 （即取 与 中的最大者） ，那么 在 中（ ） a,mx Z不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设 为群，其中 是实数集，而乘法 ，这里 为 中固定的常数。那么群 中的单位元,Gkb: G,和元 的逆元分别是（ ）ex0 和 ； 1 和 0； 和 ； 和 。kx2)2(x5、设 和 都是群 中的元素且 ，那么 （ ）cba,xGxacbcax,12 ； ；

4、； 。11 16、设 是群 的子群，且 有左陪集分类 。如果 6，那么 的阶 （ ）HcH, G6； 24； 10； 12。7、设 是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）21:Gf 的同态核是 的不变子群； 的不变子群的逆象是 的不变子群； 的子群的象是 的子群； 的不变21121G子群的象是 的不变子群。28、设 是环同态满射， ，那么下列错误的结论为（ ）1:Rf baf)(若 是零元，则 是零元； 若 是单位元，则 是单位元；ab若 不是零因子，则 不是零因子；若 是不交换的，则 不交换。21R9、下列正确的命题是（ ）欧氏环一定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主

5、理想环； 唯一分解环必是欧氏环。10、若 是域 的有限扩域， 是 的有限扩域，那么（ ）IFEI ； ；IE:IEFI: ； 。I三、 （2011 年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 1 分，共 10 分）1、设集合 ； ，则有 。1,0A2,BA2、如果 是 与 间的一一映射， 是 的一个元，则 。faaf13、设集合 有一个分类，其中 与 是 的两个类，如果 ，那么 。ij jijiA4、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为 。Gmenn5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6、给出一个 5-循环置换 ，那么 。

6、)31425(17、若 是有单位元的环 的由 生成的主理想，那么 中的元素可以表达为 。IRaI8、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么 是一个域当且仅当 是 。IRI9、整环 的一个元 叫做一个素元，如果 。Ip10、若域 的一个扩域 叫做 的一个代数扩域，如果 。FE四、 （2011 年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误 1 分，更正错误 2 分。每小题 3 分，共 15 分）1、如果一个集合 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在 里，元的次序可以掉换。A na212、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集

7、合 作成一个群，如果满足 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。G3、设 和 是环 的理想且 ，如果 是 的最大理想，那么 。ISRRSII0S4、唯一分解环 的两个元 和 不一定会有最大公因子，若 和 都是 和 的最大公因子，那么必有 。abdabd5、 叫做域 的一个代数元，如果存在 的都不等于零的元 使得 。FFn,10 010na五、 （2011 年近世代数）计算题（共 15 分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换 3412,4312,3421,4322 组成的群 ，试写出 的乘法表，并且求出 的单位元及 和 的所有子群。GG1,G2、设 是模 6 的剩余类环，且 。如果5,

8、06Z xZgxf6)(、 ，计算 、 和23)(xxf 354)(2g)(f )(xgf以及它们的次数。g3、群 G=(a),|a|=7，求出群 G 的所有子群。六、 （2011 年近世代数）证明题（每小题 10 分，共 40 分）1、设 和 是一个群 的两个元且 ，又设 的阶 ， 的阶 ，并且 ，证明： 的abbambn1),(mab阶 。mn2、设 为实数集， ，令 ，将 的所有这样的变换构成一R0,RRxaxRfba ,:),(个集合 ，试证明：对于变换普通的乘法， 作成一个群。),(bafGG3、设 和 为环 的两个理想，试证 和 都是 的理想。1I221I2121,Ib4、设 是有

9、限可交换的环且含有单位元 1，证明： 中的非零元不是可逆元就是零因子。RR5、整数环 Z 中，证明（3，7）=(1)6、证明：域是欧式环。7、证明群同态定理第一条。8、Rx条件下，做映射：f：g(x)=g(0),求证：在 f 映射下 Rx与 R 同构,并求其核。多所高校近世代数题库答案一、 （近世代数）判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 （近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 （近世代数）填空题1、 。 2、 。 3、 。 4、 。 1,0,21,0,anm5、变换群。 6、 。 7、 。 8、一个最大理想 。354Ryxii9、p 既不是零

10、元，也不是单位，且 q 只有平凡因子。10、E 的每一个元都是 F 上的一个代数元。四、 （近世代数）改错题1、如果一个集合 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在 里，元的次序可以掉换。A na21结合律与交换律 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 作成一个群，如果满足 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。G消去律成立 3、设 和 是环 的理想且 ，如果 是 的最大理想，那么 。ISRRSII0SS=I 或 S=R4、唯一分解环 的两个元 和 不一定会有最大公因子 ，若 和 都是 和 的最大公因子，那么必有 d=d。abdab一定有最大公因子；d 和 d只能差一个单位因子5、 叫做域 的一个代数元，如果存在 的都不等于零的元 使得 。FFn,10 010na不都等于零的元