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1、2019/1/24,1,概率论第5讲,第四章 条件概率 独立性,本文件可从网址 http:/,2019/1/24,2,第四节 事件的相互独立性,2019/1/24,3,一般说来, 条件概率P(B|A)与概率P(B)是不等的. 但在某些情形下, 它们是相等的. 例如, 在一批有一定次品率的产品中, 接连两次抽取产品, 每次任取一件. 如果第一次抽取后仍放回这批产品中, 设A为事件“第一次取得正品“, B为事件“第二次取得正品“, 那末, P(B|A)=P(B).,2019/1/24,4,当P(B|A)=P(B)时, 乘法定理可表示为 P(AB)=P(A)P(B). 如果两事件A,B的积事件的概率
2、等于这两事件的概率的乘积, 则称两事件A,B是相互独立的. 当P(A),P(B)都不为零时, 从事件A,B相互独立能推得 P(B|A)=P(B), P(A|B)=P(A),2019/1/24,5,例5 甲,乙各自同时向一敌机射击, 已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5. 求敌机被击中的概率.,2019/1/24,6,解 设A为事件“甲击中敌机“, B为事件“乙击中敌机“, C为事件“敌机被击中“, 由广义加法定理知 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 根据题意可认为A,B事件相互独立, 因此有 P(AB)=P(A)P(B)=0.60.5=0.3 于是 P(
3、C)=0.6+0.5-0.3=0.8,2019/1/24,7,定理 若四对事件A, B; A,B; A, B; A,B中有一对是相互独立的, 则另外三对也是相互独立的(即这四对事件或者都相互独立, 或者都不相互独立).,2019/1/24,8,证 仅证明当A,B相互独立时, A, B也相互独立, 因为 P(A B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A) =P( B ) P(A ),2019/1/24,9,设A1,A2,.,An为n个事件. 如果对于任一组k1,k2,.,ks(2sn,每组k1,k2,.,ks取1,2,.,n中的S个不同的值),
4、 等式,总成立, 那末称事件A1,A2,.,An总起来相互独立, 简称相互独立.,2019/1/24,10,称一个元件能正常工作的概率p为这个元件的可靠性. 称由元件组成的一个系统能正常工作的概率为这系统的可靠性.,2019/1/24,11,例6 设有3个元件按照下面两种不同联接方式构成两个系统. 若每个元件的可靠性均为r(0r1), 且各元件能否正常工作是相互独立的. 求每个系统的可靠性.,系统I(串联情况),系统II(并联情况),2019/1/24,12,解 先讨论系统I,系统I(串联情况),设Ai为事件“第i个元件能正常工作“ (i=1,2,3); A为事件“整个系统能正常工作“. A=
5、A1A2A3, 则按照相互独立性, 故 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=r3,2019/1/24,13,对系统II, 设Ai为事件“第i个元件能正常工作“(i=1,2,3); A为事件“整个并联系统能正常工作“. 则 A=A1A2A3 故,系统II(并联情况),2019/1/24,14,除了总起来讲相互独立外, 以后还要用到A1,A2,.,An两两相互独立的概念. 这就是说, A1,A2,.,An中任意两个都是相互独立的. A1,A2,.,An总起来讲相互独立当然保证它们两两相互独立; 但A1,A2,.,An两两相互独立并不保证它们总起来讲相互独立.,2019/1
6、/24,15,二事件独立的图示,事件A:,事件B:,A,B,0.6,0.5,A,B,2019/1/24,16,另一种表示办法：,事件A:,事件B:,A,0.6,0.5,综合：,A,B,2019/1/24,17,三事件A，B，C相互独立的情况:(假设它们的发生概率都是0.5),A,B,C,事件A,事件B,事件C,2019/1/24,18,综合起来看:,A,B,C,2019/1/24,19,两两独立却不是相互独立的情况,A,B,事件A,事件B,事件C,C,2019/1/24,20,综合起来看,A,B,C并不相互独立:,A,B,C,2019/1/24,21,另一种两两独立却不是相互独立的情况,A,B
7、,事件A,事件B,事件C,C,C,2019/1/24,22,综合起来看,A,B,C并不相互独立:,A,B,C,C,2019/1/24,23,第五节 重复独立试验 二项概率公式,2019/1/24,24,实用上往往用到下列类型的试验: 做几个试验, 它们是完全同样一个试验的重复, 且它们是相互独立的, 即相应于每一次试验的随机事件的概率都不依赖于其它各次试验的结果, 称这类试验是重复独立试验.,2019/1/24,25,例如, 从有一定次品率的一批产品中逐件地抽取产品. 如果每次取出后都立即放回这批产品中再抽下一件(放回抽样), 那末, 可以把每取一件产品作为一个试验. 由于每次取出后立即放回这
8、批产品中去, 所以各次取得的结果都不影响其余各次抽取时取得的产品是正品或次品的概率, 又因每次抽取时面对的产品的次品率是相同的, 所以现在各次抽取的试验是即相互独立又重复进行的. 因此, 是重复独立试验.,2019/1/24,26,现在讨论关于重复独立试验的一个重要问题. 设每个试验中事件A出现的概率为p. 要计算n次重复独立试验中事件A恰好出现k次的概率Pn(k)(0kn).,2019/1/24,27,由于这n次试验的独立性, 事件A在指定的k次试验中出现而在其余n-k次试验中不出现的概率应该是 pk(1-p)n-k. 因只考虑事件A在n次试验中出现k次, 而不论在哪k次出现, 所以按组合计
9、算法知,2019/1/24,28,如令q=1-p, 则上式可写为,正好是(p+q)n按二项公式展开时的各项, 所以上述公式称为二项概率公式.,2019/1/24,29,例8 一批产品中有20%的次品. 进行重复抽样检查, 共取五件样品. 计算这五件样品中恰好有三件次品, 至多有三件次品的概率.,2019/1/24,30,解 设A0,A1,A2,A3依次为五件样品中恰好有0件, 一件, 二件, 三件次品. 现在n=5, p=0.2, q=0.8. 按二项概率公式, 得,2019/1/24,31,例9 在某一车间里有12台车床, 每台车床由于工艺上的原因, 时常需要停车. 设各台车床的停车(或开车
10、)是相互独立的. 设每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3. 计算在任一指定时刻车间里有2台车床处于停车状态的概率.,2019/1/24,32,解 把任一指定时刻对一台车床的观察看作一次试验, 由于各台车床的停车或开车是相互独立的, 所以可按二项概率公式计算, 得到,2019/1/24,33,例10 自一工厂的产品中进行重复抽样检查, 共取200件样品, 检查结果发现其中有四件废品, 问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过0.005.,2019/1/24,34,解 设此工厂出废品的概率为0.005, 计算200件产品中出现4件废品的概率为,概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生
11、的(概率论上称为小概率事件的实际不可能性原理). 现在, 可以认为: 当工厂废品率为0.005时, 检查200件产品出现4件废品是一概率很小的事件(约为0.015). 在试验中竟然发生了, 因此有理由怀疑工厂的废品率不超过0.005不可信.,2019/1/24,35,2019/1/24,36,解 设p=P(A)=P(B)=P(C), P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =p+p+p-p2-p2-p2+0=3p-3p2=9/16 解之得p=3/4或p=1/4, 由于P(A)1/2, 故应填1/4.,2019/1/24,37,2019/1/
12、24,38,2019/1/24,39,2003年考研题 数学3(4分) 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件: A1=掷第一次出现正面, A2=掷第二次出现正面, A3=正、反面各出现一次, A4=正面出现两次, 则事件( ). (A) A1,A2,A3相互独立 (B) A2,A3,A4相互独立 (C) A1,A2,A3两两独立 (D) A2,A3,A4两两独立,2019/1/24,40,2003年考研题 数学3(4分) 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件: A1=掷第一次出现正面, A2=掷第二次出现正面, A3=正、反面各出现一次, A4=正面出现两次, 则事件( ). (A) A1,A2,A3相互独立 (B) A2,A3,A4相互独立 (C) A1,A2,A3两两独立 (D) A2,A3,A4两两独立 解 记住两次独立试验构成的相互独立事件一定不会超过两个, 因此(A)和(B)一定不考虑, A3与A4互斥所以(D)也错, 因此选(C), 如果有时间验证(C)即可.,2019/1/24,41,作业 习题四 从44页开始 12, 16, 18,
