《高考数学课件-正弦定理和余弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学课件-正弦定理和余弦定理（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.1 正弦定理,1. 复习三角形中的边角关系,1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系,大角对大边,（一）任意三角形中的边角关系,（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）,1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系,？,2. 正弦定理,在直角三角形ABC中的边角关系有：,对于一般的三角形是否也有这个关系？,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,(1) 若三角形是锐角三角形, 如图,且,可得,(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.,?,(3
2、) 外接圆法,如图:,3. 正弦定理的应用,一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。,例1 在 中，已知 ，求b（保留两个有效数字）,解：,已知两角和任一边，求其他两边和一角,变式训练：,（1）,在ABC中，已知b= ,A= ，B= ，求a。,（2）,在ABC中，已知c= ,A= ，B= ，求b。,解：,=,=,解：,=,又,例2 在 中，已知 ，求,解：由,得, 在 中, A 为锐角,已知两边与其中一边的对角，求其它边和角.,例 3,已知 a=16， b= ， A=30 解三角形,解：由正弦定理,得,所以
3、,60,或120,C=90,C=30,当120时,变式: a=30, b=26, A=30，解三角形,由于154.30 +3001800,故B只有一解 （如图）,C=124.30,变式: a=30, b=26, A=30，解三角形,所以,25.70,C=124.30,a b A B ,三角形中大边对大角,例题4: 三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm, A=400,解三角形。,变式：在例 4中，将已知条件改为以下几种情况，角B的结果有几种？,（1） b20，A60，a203,（2） b20，A60，a103,（3） b20，A60，a15.,已知边a,b和角，求其他边和角,为锐角,为
4、直角或钝角,（1）在ABC中,B=1350,a=2,b= ,求A,大边对大角，故本题无解。,（2）在ABC中,A=450,a=2,b= ,求B,（3）在ABC中,b= ,a=2,B=450,求A,（4）在ABC中,b= ,a= ,B=450,求A,或120o,练习,1. 已知两角及一边解三角形一定只有一解。,2. 已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、一 解或两解。,归纳：,已知两边a、b和一边对角A的斜三角形的解：,A为钝角或直角,A为锐角,ab,ab,ab,absinA,a=bsinA,bsinAab,一解,无解,一解,无解,一解,两解,(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知两角和
5、一边，求其他角和边,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角,知识小节：,(3) 正弦定理的变形：,(2) 三角形面积公式：,如果已知一个三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？,思考：,思考： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB 与CA 的夹角为C， 求边c.,设,由向量减法的三角形法则得,2.余弦定理,（1）向量法,C,B,A,c,a,b,由向量减法的三角形法则得,思考： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,C,B,A,c,a,b,余弦定理,由向量减法的三角形法则
6、得,思考： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,余 弦 定 理,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,（2）解析法,当角C为锐角时,（3）几何法,当角C为钝角时,余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。,证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CDAB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA,同理有：,推论：,（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角；,
7、3.余弦定理的应用,1. 已知ABC中，a=8,b=7,B600, 求c及SABC,整理得：c2-8c+15=0,解得：c1=3, c2=5,（2）已知三边，求三个角。,例题1 在ABC中，已知a= ,b=2, c= ,解三角形,解：由余弦定理得,（3）判断三角形的形状,例、在ABC中， ， 那么是（ ）,. 钝角 . 直角 . 锐角 . 不能确定,提炼：设a是最长的边，则,ABC是钝角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是直角三角形,7. 在ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定ABC的形状,分析： ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。,变式：若已知三边的比是7:10:6，怎么
8、求解,练习：,8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）,分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。,B,A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6,9.在ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值,分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。,解：,则有：b是最大边，那么B 是最大角,4.小结:,（1）余弦定理：,（2）推论:,（3）余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 已知两边及其夹角，求第三边和其他 两个角。 2) 已知三边求三个角。 3) 判断三角形的形状。,
