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1、Ch.3 控制系统的运动分析,状态转移矩阵计算(1/1),3.2 状态转移矩阵计算 在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算。 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3种常用方法。 级数求和法 约旦规范形法 化eAt为A的有限多项式矩阵函数法,重点推荐,级数求和法(1/3),3.2.1 级数求和法 由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:,矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。 由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条
2、件和计算收敛速度问题。 类似于标量指数函数eat,对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。,级数求和法(2/3),显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形式,只能得到数值计算的近似计算结果。 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少。 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 因此,该方法的缺点: 计算量大 精度低 非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达式 。,级数求和法(3/3)例3-4,例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数:,解 按矩阵指数函数的展开式计算
3、如下:,约旦规范形法 (1/8),3.2.2 约旦规范形法 上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数。 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵,因此 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵指数函数。 下面讨论之。,约旦规范形法(2/8),下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有 则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系,约旦规范形法(3/8),该结论可简单证明如下:,根据上述性质,对矩阵A,可通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,然后利用该类
4、特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。,约旦规范形法(4/8)例3-5,例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=-1 2=-2 3=-3 2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所对应的特征向量分别为 p1=1 0 1 p2=1 2 4 p3=1 6 9,约旦规范形法例3-5,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为,3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,约旦规范形法例3-6,例3-6 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,约旦规范形法(7/8)例3-6,解
5、 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=2 2=3=-1 2. 由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其逆阵P-1分别为,3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,约旦规范形法(8/8)-例3-6,塞尔维斯特内插法(1/1),3.2.3 塞尔维斯特内插法 在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时,需要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理以及最小多项式的概念。 因此,首先给出凯莱-哈密顿定理及最小多项式的概念,再讨论塞尔维斯特内插法。 下面依次介绍: 凯莱-哈密顿定理 最小多项式 塞尔维斯特内
6、插法计算矩阵指数函数,凯莱-哈密顿定理(1/4),1. 凯莱-哈密顿定理 凯莱-哈密顿定理是矩阵方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和证明如下。 定理3-1(凯莱-哈密顿定理) 设nn矩阵A的特征多项式为 f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an 则矩阵A必使由上述特征多项式决定的矩阵多项式函数 f(A)=An+a1An-1+an-1A+anI=0 上述特征多项式亦称为矩阵A的零化特征多项式。 ,凯莱-哈密顿定理(2/4),证明 因为 I=(I-A)-1(I-A)=adj(I-A)/|I-A|(I-A) 故 |I-A|I=adj(I-A)(I-A) 由伴随矩阵的定义可知,伴随矩阵a
7、dj(I-A)可表示为如下多项式矩阵函数: adj(I-A)=n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn 其中矩阵B2,B3,Bn为nn维的常数矩阵。,凯莱-哈密顿定理(3/4),因此由前面两式,有 (n+a1n-1+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn)(I-A) 整理得 (n+a1n-1+an-1+an)I =nI+(B2-A)n-1+(Bn-Bn-1A)-BnA,凯莱-哈密顿定理(4/4),上式中,令等号两边的同幂次项的系数相等,则有 a1I-B2+A=0 a2I-B3+AB2=0 an-1I-Bn+ABn-1=0 anI+ABn=0 因此,将上述各等式从上至下依次右乘以
8、An-1,A,I,然后将各等式相加,即得 An+a1An-1+an-1A+anI=0 故矩阵A满足其本身的零化特征多项式。 ,最小多项式 (1/3),2. 最小多项式 根据凯莱-哈密尔顿定理,任一nn维矩阵A满足其自身的特征方程,即特征多项式为A的一个零化多项式。 然而特征多项式不一定是A的最小阶次的零化多项式。 将矩阵A满足的最小阶次的首一零化多项式称为最小多项式,也就是说,定义nn维矩阵A的最小多项式为满足 (A)=Am+1Am-1+m-1A+mI=0, mn 的阶次最低的首一多项式 ()=m+1m-1+m-1+m,最小多项式(2/3),最小多项式在矩阵多项式的分析与计算中起着重要作用。
9、定理3-2给出了特征多项式与最小多项式的关系。 定理3-2 设首一多项式d()是I-A的伴随矩阵adj(I-A)的所有元素的最高公约式,则最小多项式为,最小多项式(3/3),证明 由假设知,矩阵adj(I-A)的最高公约式为d(),故 adj(I-A)=d()B(), 式中,B()的n2个元素(为的函数)的最高公约式为1。 由于 (I-A)adj(I-A)=|I-A|I 可得 d()(I-A)B()=|I-A|I 由上式可知,特征多项式|I-A|可被整除d()。 因此设d()整除|I-A|得到的因式记为(),故有 |I-A|=d()(),最小多项式(4/3),由于首一多项式d()的最高阶次的系
10、数为1,所以()的最高阶次的系数也应为1。 因此,综合上两式,可得 (I-A)B()=()I 因而 (A)=0 即()亦为A的零化多项式。 设()为A的最小多项式,因此零化多项式()可写为 ()=g()()+e() 其中g()和e()分别是多项式()除以()的商和余项,且e()的阶次低于()。,最小多项式(5/3),由于(A)=0和(A)=0,所以必然有e(A)=0。 考虑到()为矩阵A的最小多项式,所以不存在比()阶次还低的A的零化多项式,故e()必为零,即有 ()=g()() 又因为(A)=0,所以()可写为 ()I=(I-A)H() 式中,H()为()的一个因子矩阵,故 ()I=g()(
11、)I=g()(I-A)H() 将上式与(I-A)B()=()I比较,有 B()=g()H(),最小多项式(6/3),又因为B()的n2个元素的最高公约式为1,因此 g()=1 于是 ()=() 因此,由前面证明的|I-A|=d()()而证明了最小多项式()为,最小多项式(7/3),根据上述定理3-2,nn维矩阵A的最小多项式可按以下步骤求出。 1) 根据伴随矩阵adj(I-A),写出作为的因式分解多项式的adj(I-A)的各元素; 2) 确定作为伴随矩阵adj(I-A)各元素的最高公约式d()。 选取d()的最高阶次系数为1。 如果不存在公约式,则d()=1; 3) 最小多项式()可由|I-A
12、|除以d()得到。,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(1/4),3. 塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数 基于最小多项式(或特征多项式),塞尔维斯特内插法可以非常简洁、快速地计算出矩阵指数函数,其计算思想与过程可描述如下。 若()=m+1m-1+m-1+m为矩阵A的最小多项式,则由(A)=0有 Am=-1Am-1-m-1A-mI 即Am可用有限项Am-1,A,I的线性组合来表示。,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(2/4),将上式两边乘以矩阵A,则有 即Am+1可用有限项Am-1,A,I的线性组合来表示。,Understand?,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(3/4),其中i(t)(i=0,
13、1,m-1)为待定的关于时间t的函数。 即,矩阵指数函数eAt亦可以用有限项Am-1,A,I的线性函数组合表示。,依次类推,则可知,Ai(im)可用有限项Am-1,A,I的线性组合来表示。 因此,我们有,关键喔,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(4/4),利用上式去计算矩阵指数函数eAt的关键是如何计算待定函数i(t)。 下面分 A的特征值互异 A有重特征值 两种情况来讨论如何计算i(t)以及eAt。,(1) A的特征值互异 设矩阵A的n个互异特征值为1,2,n,则矩阵A的最小多项式()等于特征多项式f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an。 因系统的所有特征值i使特征多项式f(i)
14、=0,故与前面证明过程类似,我们亦有,A的特征值互异(1/4),其中待定函数i(t)(i=0,1,n-1)与矩阵指数函数eAt的表达式中的i(t)一致。,A的特征值互异(2/4),因此,可得如下待定函数i(t)(i=0,1,n-1)的线性方程组:,求解上述方程得函数i(t)后,由式(3-49)可计算得矩阵指数函数eAt。,A的特征值互异(3/4)-例3-7,例3-7 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解 由于矩阵A的3个特征值互异,并分别为-1,-2和-3,因此解方程组(3-52)可得,A的特征值互异(4/4),则系统的状态转移矩阵为,A有重特征值(1/4),(2) A有重特征值 由于矩阵A与它
15、的约旦矩阵 具有相同的最小多项式(),因此由前面的推导过程可知,约旦矩阵 也满足,设A与 的特征值i的代数重数为mi,则由上式很容易证明i(t)满足,求解上述方程,则可求得待定函数i(t)。,A有重特征值(2/4),为清楚说明问题,设A和 有如下6个特征值:1,1,1,2,2,3。 则相应的矩阵指数函数计算式(3-49)中的待定函数i(t)(i=0, 1,5)的计算式为,A有重特征值(3/4)例3-8,值得指出的是,上述塞尔维斯特内插法不仅对矩阵A的最小多项式成立,而且对所有矩阵A的零化多项式也成立。 因此,在难以求解最小多项式时,上述方法中的最小多项式可用矩阵A的特征多项式代替,所得结果一致,仅计算量稍大。 例3-8 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,A有重特征值(4/4)例3-8,解 解矩阵A的特征方程, 得特征值为1,1和2。 由于特征值2为二重特征值,下面按基
