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1、贵州师范学院毕业论文 学科分类号 110 本 科 毕 业 论 文 题 目 求函数极值的若干方法 姓 名 张成银 学 号 1106020540066 院 (系) 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 11级 指导教师 李晟 职 称 副教授 二一 五 年 五 月贵州师范学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本
2、人承担。 本科毕业论文作者签名： 年 月 日目 录摘 要1Abstract2引言31 一元函数极值问题31.1一元函数极值的定义31.2 一元函数极值的求解方法31.2.1 导数法31.2.2 配方法41.2.3 实例分析52 二元函数极值问题82.1 二元函数极值的定义82.2 二元函数极值求解的一般方法82.2.1 二元函数取得极值的条件82.2.2 二元函数一般求解步骤92.2.3实例分析92.3 二元函数条件极值的求解113 函数的极值在经济生活中的应用12结语15参考文献16致 谢17摘 要函数极值是函数很重要的性质之一，求函数极值的问题既是一个培养学生逻辑思维能力的问题，又是一个学
3、以致用、解决生产科研问题的数学方法。并且，在生产、生活中，生产者和消费者经常以利润为主，把实际问题按要求达到最大和最小的优化，形成一定的有效理论，实现效用最大的目标。本文主要是研究并归纳当函数极值分别为一元函数或者为二元函数时，用简单的定义求解其极值的方法和函数的极值在经济生活中的运用。关键词：函数极值；极大值；极小值AbstractThis is one of the very important function of the extreme nature of the function, seeking not only a problem of function extreme cul
4、tivation of students logical thinking ability, but also a apply their knowledge to solve mathematical problems of production and research. And, in the production, life, producers and consumers often profit-oriented, practical issues required to achieve the maximum and minimum optimization, a certain
5、 effective theory, to achieve the goal of maximum utility. This paper is to study and concludes when the function extremum were unary function or if a binary function, with a simple definition of solving its extreme value approach. And extreme functions used in economic life.Keywords: function extre
6、mes; maxima; minimum value引言函数极值的求解是当代数学研究不可或缺的重要内容，在中学的基础学习、大学的理论学习和实际应用中都占有重要的地位，是推动微积分发展的要素之一，在解决实际问题中也占有极其重要的地位，在科学技术和社会生活的各个领域中都充满了函数极值问题。当前在函数极值问题的讨论研究中已经有了不少的见解，并且在很多学术论文及期刊中,理论和实践已经达到了广泛、透彻的认识和运用。1 一元函数极值问题1.1一元函数极值的定义定义1设函数在的一个邻域内有定义，若对该邻域内异于的恒有：，则称为函数的极大值，称为的极大值点；，则称为函数的极小值，称为的极小值点。函数的极大值、
7、极小值统称为函数的极值。极大值点，极小值点统称为极值点。1.2 一元函数极值的求解方法1.2.1 导数法 利用一阶导数，根据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点。定理12（极值的第一充分条件）：设函数在的一个邻域内可微（在处可以不可微，但必须连续），若当在该邻域内由小于连续变为大于时，其导数改变符号，则为函数的极值，为函数的极值点，并且(1)若导数由正值变为负值，则为函数的极大值点； 当时，所有的都满足，而当时，所有的都满足，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出在处可以取得最大值。(2)若导数由负值变为正值，则为函数的极小值点。当时，所有的都满足；当时，所有的都满足，如果上述两个条
8、件都成立时，那么我们就可以得出在处可以取得最小值。(3)若导数不变号，则不是函数的极值点。当 时，的符号一直不会改变，即所有的都满足或所有的都满足，那么在这种情况下我们可以得出在处不能取到极值的。 运用该定理时，函数的一般步骤是：（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；（2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；（3）求出极值点处的函数值，得到极值。利用二阶导数，根据函数极值的第二充分条件列表求函数极值点：定理22（极值的第二充分条件）：设函数在处的二阶导数存在。若，则为函数的极值点，为函数的极值，并且（1）当时，则为函数的极小值点，为函数的极小值；（2）当时，则为函数的极大
9、值点，为函数的极大值。运用该定理求函数极值点的一般步骤是：（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点；（2）考察函数二阶导数在驻点出的符号。定理32设函数在的某个邻域内存在直到阶的导数，在点处阶是可以求导的，并且成立，那么（1）当为偶数的时候，在处可以取到极值，并且如果时,我们可以在点处取到极小值，如果时， 极大值点在点取到。（2）当为奇数的时候，在这种情况下在点处的极值是我们取不到的。1.2.2 配方法 在高中，数学中曾讲了二次函数的图像是一条抛物线，从图像中可以分析出：（1）当时，函数图像的抛物线口向上，它的纵坐标由递减到递增，这个顶点的纵坐标相当于极小值。（2）当时，函数图像的抛物线
10、口向下，它的纵坐标由递增到递减，这个顶点的纵坐标相当于极大值。因此，欲求二次函数的极小值或极大值只需求得该函数的顶点坐标，我们用配方法将写成，那么该二次函数的顶点坐标即为。（1）当时，该坐标值即为极小值。（2）当时，该坐标值即为极大值。1.2.3 实例分析例13求函数的极值。解：方法1 ：利用第一充分条件判断。（1）确定定义域：定义域为；（2）求出导数；（3）求出在定义域内的全部驻点与不可导点（可能极值点）令，得到在定义域内的驻点为，驻点将定义域分成了四个区间，分别为；（4）考察在定义区间内的符号： 通过计算可知，当时，；当时，；当时，；当时，。因此，由一元函数极值的第一充分条件可知，是极小值
11、点，和都是极大值点，（5）计算极值：极小值；极大值，极大值。为了方便起见，整个解题过程用表1表示。表1.1极大值极大值方法2：利用第二充分条件进行判断。（1）确定定义域：定义域为；（2）求出导数和：；（3）确定在定义域内的全部驻点：有方法1可知函数在定义域内的驻点为（4）考察在驻点处的符号：因为，所以由一元函数极值的第二充分条件可知，是极小值点，都是极大值点。（5）计算极值：极小值；极大值。例2 求的极值。 解：求得，可以知道是函数的三个驻点。求的二阶导数，直有，由此可知在时取得最小值。由定理3，求得三阶导数，有，但由于是奇数，所以在处不取得极值。四阶导数，有，由于为偶数，所以在处取得极大值。
12、有上面可知：是极大值，是极小值。例3 某商场以每件50元的价格购进一批冬衣，如果以每件100元销售，每个月可以卖出300件，根据市场销售变化可知，如果单价上涨1元时，该商品每月的销量就减少10件。（1）写出每个月卖出衣服的利润（元）与上涨价格（元）件的函数关系式？（2）当衣服单价定为多少元时，每月卖出衣服的利润最大？解：（1） (元)（2）设售价定为元，则销售利上式可得 所以当单价为90元时，最大利润为16000元。答：函数关系式为，当单价定为90元时得到最大利润，最大利润为16000元。例4 求函数的最小值。解：欲求，只需使被开方数的值最小，而为非负数，则取最小值的充要条件是，故当时有。例5
13、 求函数的极值。解：的定义域且， ； 令，得到驻点，； 因，；故是极大值，是极小值。 由上可以知道，配方法适用于次数为二次的一元函数，而定义法和导数法更适合于次数大于二次的一元函数。2 二元函数极值问题2.1 二元函数极值的定义定义2设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：（1）若满足不等式 ，则称函数在有极大值；（2）若满足不等式 ，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。由定义可以看出，函数的极大值，极小值问题是一个“局部性”的概念，也就是说，是函数的极值点与邻近所有的点的函数值的比较，不能说明是整个区间内的最大值和最小值，极值只能在区间内部取得，不能在区间端点处取得。2.2 二元函数极值求解的一般方法2.2.1 二元函数取得极值的条件定理1 2（必要条件）设函数在点具有一阶偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏
