《2019电大《常微分方程》复习考试ab试卷及参考答案 (2)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019电大《常微分方程》复习考试ab试卷及参考答案 (2)(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2012-2013学年第 二 学期常微分方程考试 AB卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题(每题4分,共20分)1. 形如 (连续)的方程是 一阶线性微分 方程,它的通解为 .2. 形如的方程是 3 阶_齐次_(“齐次”还是”非齐次”)_常_系数的微分方程,它的特征方程为.3. 形如的方程为 欧拉 方程, 可通过变换把它转化成常系数方程.4. 满足初始条件:=0, =1的特解55.微分方程的解存在且唯一的条件是: 在R上连续且满足利普希茨条件 一、 下列微分方程的解(每题5分,共30分)1=解:令x+y=u,则=-1 .3 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y
2、)=c. .52解:两边同乘以得: .3故方程的通解为: .53解:令,则,两边对x求导,得 , .3解之得 ,所以, .4且y=x+1也是方程的解,但不是奇解. .54. 解:特征方程有三重根, .3故通解为 .55. 解:特征方程有根0,齐线性方程的通解为x= .3又因为0是特征根,故可以取特解行如代入原方程解得A=,B= .4故通解为x= .56. 解: 原方程可化为 1分离变量可得 .3 两边积分可得 .4 将初值代入上式求得方程的解: .5二、 求下列方程(组)的通解(每题10分,共30分)1求一曲线,使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率.解: 设为所求曲线上的任一点,则在点
3、的切线在轴上的截距为: .3由题意得 即 也即 两边同除以,得 .5即 .7即 .10为方程的解。2. 满足初值条件解:方程组的特征值, .2对应特征值的特征向量应满足 对任意常数, , 取, 得 .4对应特征值的特征向量应满足 对任意常数, , 取, 得 .6所以基解矩阵为: .8= .103.求方程 通过点 的第二次近似解.解: 令,于是 .5 .10五、应用题(10分)33. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解:,又,由此 即 .5其中,解之得 又时,;时,。故得
4、 ,从而方程可化为 .7当时,有 米/秒 .8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。 .10六、证明题 (10分)1、试证: 非齐次线性微分方程组的叠加原理:即: 设分别是方程组的解,则是方程组的解.证明: (1) (2)分别将代入(1)和(2)则 .5则令 即证 .102010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 B卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业一、 填空题(每题4分,共20分)1. 是恰当方程的充要条件是;其通解可用曲线积分表示为 .2方程 叫 克莱罗 方程,其通解是,其奇解是 .3. 形如的方程是 2 阶 非齐次 (“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的
5、特征方程的特征根为 .4. 若 是同一线性方程 的基解方阵,则它们间有关系 .55.微分方程的解存在且唯一的条件是: 在R上连续且满足利普希茨条件 二、下列微分方程的解(每题5分,共30分)1. 解: 令 .1则: 即 得到 故 即 .4 另外也是方程的解。 . .52. =解: y= () .3=-e()+c=c e- ()是原方程的解。 .53。 设 .3 .4 , 解为 .54. 解:特征方程有复数根, .3故通解为 .55.解: 原方程可化为 故 .56. 解:特征方程有根-2,-4 .1故齐线性方程的通解为x= .3-2是特征方程的根,故代入原方程解得A= .4故通解为x= .5三、
6、求下列方程(组)的通解(每题10分,共30分)1.解:特征方程有2重根-a.2当a=-1时,齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根,故代入原方程解得A=通解为s=,.6当a-1时,齐线性方程的通解为s=,1不是特征方程的根,故代入原方程解得A=故通解为s=+.102. 求其基解矩阵.解: det(EA)=0得, .3对应于的特征向量为u, ( 0 )对应于的特征向量为v, ( ) .5u,v是对应于,的两个线性无关的特征向量(t)=是一个基解矩阵 .103. 求方程 通过点 的第二次近似解.解: 令,于是 .5 .10五、应用题(10分)1求一曲线,过点(1,1), 其任一点的切线在轴上
7、的截距等于.解: 设为所求曲线上的任一点,则在点的切线在轴上的截距为: .3由题意得 两边同除以,得 .5即 .7即 .8将代入上式得。.10六、证明题 (10分)1、 试证:如果是=Ax满足初始条件的解,那么expA(t-t)证明:由于(t)-1(t0) (t) .5又因为(t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵 (At)(- At0)=(- At0)(At) .7所以 expA(t-t) .10Visa-free policy brings Chengdu biz, tourism boost. Making national headlines several times, Chengdus 72-hour visa-free policy has attracted wide attention from both Chinese and foreign experts and businessmen since it took effect on Sept 1 last year. The program permits citizens from 51 countries and regions includin