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1、,第三章 动态电路分析,下一页,前一页,第 3-1 页,返回本章目录,3.1 动态元件 3.2 电路变量初始值的计算 3.3 一阶电路的零输入响应 3.4 一阶电路的零状态响应 3.5 一阶电路的完全响应,2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；,重点,3. 稳态分量、暂态分量求解；,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；,第三章 动态电路分析,下一页,前一页,第 3-2 页,返回本章目录,下一页,前一页,第 3-3 页,返回本章目录,3.1 动态元件,许多实际电路，除了电源和电阻外，还常包含电容和电感元件。这类元件的VCR是微分或积分关系，故称其为动态元件。含有动态元件的电
2、路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。,一、电容,电容元件(capacitor)是一种储存电能的元件, 它是实际电容器的理想化模型。其电路符号如图(a)所示。 电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。,1、电容的一般定义,一个二端元件，若在任一时刻t，其电荷q(t)与电压u(t)之间的关系能用qu平面上的曲线表征，即具有代数关系 f (u，q ) = 0 则称该元件为电容元件，简称电容。,下一页,前一页,第 3-4 页,返回本章目录,电容也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。 线性时不变电容的外特性(库伏特性)是qu平面上一条过原点的直线，且其斜率C不随时间变化，如图(a)所示
3、。其表达式可写为：,q(t) = Cu(t),其中C就是电容元件的值，单位为：法拉(F)。 对于线性时不变电容，C为正实常数。,2、电容的VAR(或VCR),当电容两端的电压变化时，聚集在电容上的电荷也相应发生变化，这表明连接电容的导线上就有电荷移动，即有电流流过；若电容上电压不变化，电荷也不变化，即电流为零。这与电阻不同。,若电容上电压与电流参考方向关联，如图 (b)，考虑到i =dq/dt， q = C u(t)，有,称电容VAR的微分形式,一、电容,下一页,前一页,第 3-5 页,返回本章目录,对电容伏安关系的微分形式从-到t进行积分，并设u(-)=0，可得,称电容VAR的积分形式,设t
4、=t0为初始观察时刻，上式可改写为,式中,称为电容电压在t0时刻的初始值(initial value),或初始状态(initial state)，它包含了在t0以前电流的“全部历史”信息。一般取t0 =0 。,一、电容,下一页,前一页,第 3-6 页,返回本章目录,3、电容的功率与储能,当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：,电容是储能元件，它不消耗能量。当p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当p(t) 0时，说明电容是在释放能量，处于放电状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电容不能产生能量，因此为无源元件。 对上式从-到t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能为
5、：,式中u(-) 表示电容未充电时刻的电压值，应有u(-) =0。于是，电容在时刻t 的储能可简化为：,可见：电容在某一时刻t 的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无关，且储能0。,一、电容,例1：求电流i、功率P (t)和储能W (t),解,uS (t)的函数表示式为:,解得电流,下一页,前一页,第 3-7 页,返回本章目录,4、举例,一、电容,吸收功率,释放功率,下一页,前一页,第 3-8 页,返回本章目录,一、电容,下一页,前一页,第 3-9 页,返回本章目录,5、主要结论,（1）电容的伏安关系是微积分关系，因此电容元件是动态元件。而电阻元件的伏安关系是代数关系，电阻是一个即时（瞬时）元
6、件。 （2）由电容VAR的微分形式可知： 任意时刻，通过电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。当电容电流i为有限值时，其du/dt也为有限值，则电压u必定是连续函数，此时电容电压是不会跃变的。当电容电压为直流电压时，则电流i = 0，此时电容相当于开路，故电容有隔直流的作用。 （3）由电容VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电容电压u是此时刻以前的电流作用的结果，它“记载”了以前电流的“全部历史”。即电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容是一个记忆元件，而电阻是无记忆元件。 （4）电容是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量的形式储存于自身的电场中。电容C在某一时刻的储能只与该时刻t
7、电容电压有关。,一、电容,下一页,前一页,第 3-10 页,返回本章目录,二、电感,电感元件(inductor)是一种储存磁能的元件。它是实际电感线圈的理想化模型，其电路符号 如图(a)所示。,将导线绕在骨架上就构成一个实际电感线圈（也称电感器），如图(b)。当电流i(t)通过线圈时，将产生磁通(t)，其中储存有磁场能量。与线圈交链的总磁通称为磁链(t)。若线圈密绕，且有N匝，则磁链(t)=N (t)。,电感上磁链与电流的关系最能反映这种元件的储能。,1、电感的一般定义,一个二端元件，若在任一时刻t，其磁链(t)与电流i(t)之间的关系能用 i平面上的曲线表征，即具有代数关系 f ( ， i
8、) = 0 则称该元件为电感元件，简称电感。,下一页,前一页,第 3-11 页,返回本章目录,电感也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。,线性时不变电感的外特性(韦安特性)是i平面上一条过原点的直线，且其斜率L不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写为：,(t) = L i(t),其中L就是电感元件的值，单位为：亨利(H)。磁链的单位：韦伯(Wb)。对于线性时不变电感，L为正实常数。,2、电感的VAR(或VCR),电感中，当电流变化时，磁链也发生变化，从而产生感应电压。在电流与电压参考方向关联时，若电压参考方向与磁通的方向符合右手法则，根据法拉第电磁感应定律，感应电压u(t)与磁链的变化率
9、成正比，即：,对线性电感，由于(t) = L i(t)，故有,称电感VAR的微分形式,二、电感,下一页,前一页,第 3-12 页,返回本章目录,对电感伏安关系的微分形式从-到t进行积分，并设i(-)=0，可得,称电感VAR的积分形式,设t=t0为初始观察时刻，上式可改写为,式中,称为电感电流在t0时刻的初始值或初始状态，它包含了在t0以前电流的“全部历史”信息。一般取t0 =0 。,二、电感,下一页,前一页,第 3-13 页,返回本章目录,3、电感的功率与储能,当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为：,电感是储能元件，它不消耗能量。当p(t)0时，说明电感是在吸收能量，处于充磁状态
10、；当p(t) 0时，说明电感是在释放能量，处于放磁状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电感不能产生能量，因此为无源元件。 对上式从-到t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：,式中i(-) 表示电感未充磁时刻的电留值，应有i(-) =0。于是，电容在时刻t 的储能可简化为：,可见：电感在某一时刻t 的储能仅取决于此时刻的电流，而与电压无关，且储能0。,二、电感,下一页,前一页,第 3-14 页,返回本章目录,二、电感,5、主要结论,（1）电感元件是动态元件。,（2）由电感VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电感的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压u为有限值时，其di/dt也为有限
11、值，则电流i必定是连续函数，此时电感电流是不会跃变的。当电感电流为直流电流时，则电压u = 0，即电感对直流相当于短路。,（3）由电感VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电感电流i是此时刻以前的电压作用的结果，它“记载”了以前电压的“全部历史”。即电感电流具有“记忆”电压的作用，故电感也是一个记忆元件。,（4）电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量的形式储存于自身的磁场中。电感L在某一时刻的储能只与该时刻t电感电流有关。,下一页,前一页,第 3-15 页,返回本章目录,三、电容与电感的串并联,1、电容串联：,电容串联电流相同，根 据电容VAR积分形式,由KVL，有u = u1
12、+ u2 +un,分压公式,特例：两个电容串联，,下一页,前一页,第 3-16 页,返回本章目录,2、电容并联：,电容并联电压u相同，根据电容VAR微分形式,由KCL，有,分流公式,三、电容与电感的串并联,下一页,前一页,第 3-17 页,返回本章目录,3、电感串联：,电感串联电流相同，根据电感VAR微分形式,由KVL，有,分压公式,三、电容与电感的串并联,下一页,前一页,第 3-18 页,返回本章目录,三、电容与电感的串并联,4、电感并联：,电感并联电压u相同，根 据电感VAR积分形式,由KCL，有i = i1 + i2 +in,分流公式,特例：两个电感并联，,下一页,前一页,第 3-19
13、页,返回本章目录,5、电容电感串并联说明,电感的串并联与电阻串并联形式相同，而电容的串并联与电导形式相同。,三、电容与电感的串并联,1、换路定律,下一页,前一页,第 5-20 页,返回本章目录,3.2 电路的初始值,求解微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解中待定常数K。由于电路响应指电压和电流，故相应的初始条件为电压或电流的初始值，即在t = t0时刻的值u(t0)、i(t0)。,其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0) 、 iL(t0)由电路的初始储能决定，称为独立初始值或初始状态。其余电压电流的初始值称为非独立初始值，它们将由电路激励和初始状态来确定。,（1）换路,* 开关的
14、闭或开动作； * 元件参数突变； * 电源数值突变；,统称为“换路”,电路的初始时刻一般认为是换路时刻。设换路时刻为t = t0，则,换路前瞬间为：,换路后瞬间为：,解微分方程所需要的初始值？,一、独立初始值,下一页,前一页,第 3-20 页,返回本章目录,（2）、换路定律(Switching Law),下一页,前一页,第 5-21 页,返回本章目录,3.2 电路的初始值,若电容电流iC和电感电压uL在t = t0时为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL是连续的（不发生跃变），即有 uC(t0+) = uC(t0-) iL(t0+) = iL(t0-),（3）、说明,（1）*：除电
15、容电压和电感电流外，其余各处电压电流不受换路定律的约束，换路前后可能发生跃变。 （2）换路定律可以从能量的角度来理解： 由于wC(t) = 0.5Cu2C(t)、wL(t) = 0.5Li2L(t)，如果uC或iL发生跃变，则wC或wL也发生跃变，由于功率p = dw/dt，因此能量的跃变意味着功率为，这在实际电路中是不可能的。 （3）通常t0= 0。此时uC(0+) = uC(0-)， iL(0+) = iL(0-),一、独立初始值,下一页,前一页,第 3-21 页,返回本章目录,2、独立初始值（初始状态）的求解,下一页,前一页,第 5-22 页,返回本章目录,（1）求出uC(0-)和 iL
16、(0-)。（2）利用换路定律求得 uC(0+) = uC(0-)， iL(0+) = iL(0-),例1：电路如图，已知t0时，开关S是闭合的，电路已处于稳定。在t = 0时，开关S打开，求初始值uC(0+) 和iL(0+) 。,解：t 0时，电路在直流电源作用下并已处于稳态，表明电路各处电压、电流均为直流。电容可视为开路，电感视为短路。得t = 0-时的等效电路如图,容易求得： iL(0-) = 8/(2+6) = 1 A uC(0-) = 6 iL(0-) = 6 V,由换路定律得： uC(0+) = uC(0-) = 6 V iL(0+) = iL(0-) = 1 A,3.2 电路的初始值,一、独立初始值,下一页,前一页,第 3-22 页,返回本章目录,3、非独立初始值求解 基本思路：先求出独立
