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1、第一章 行列式,1.1 二阶与三阶行列式 1.2 排列 1.3 n阶行列式 1.4 n阶行列式的性质 1.5 行列式按一行（列）展开 1.6 Cramer法则,本章内容,行列式概念的形成 行列式的基本性质和计算方法 利用行列式来解线性方程组,山东理工大学,1 二阶与三阶行列式 它们是从二元和三元线性方程组的公式解中引出来的,山东理工大学,二阶行列式,二元线性方程组： 当二阶行列式 时, 该方程组有唯一解:,山东理工大学,三阶行列式,对于三元线性方程组, 我们同样可以得到三阶行列式,山东理工大学,本章我们讨论一般的 n元一次方程组，即线性方程组。在这一章中，我们将利用n行列式的概念，将上述结论推
2、广到n元线性方程组 的情形,返回,山东理工大学,2 排列,n 级排列的定义 排列中两个数的顺序、反序 排列的反序数 奇排列、偶排列的定义 对换的定义 定理：一个对换改变排列的奇偶性,山东理工大学,定义1 由1，2，n组成的一个有序数组称为一个n级排列. 如，2341是一个4级排列，54321是一个5级排列。n级排列的总数是: n(n-1)(n-2)21=n! 12n称为自然排列. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后,山东理工大学,面的数，那么它就称为一个反序，一个排列中，反序的总数称为这个排列的反序数.排列 的反序数记为 例如: 定义3 反序数为偶数的排
3、列称为偶排列；反序数为奇数的排列为奇排列. 例如2431是偶排列；45321是奇排列；123n是偶排列.,山东理工大学,我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所 组成的排列，一般也称为n级排列.,把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换称为对换. 例如 3421经 3，1 对换就变成了1423.显然，如果连续施行两次相同的对换就还原了.,山东理工大学,定理1 对换改变排列的奇偶性. 证明 先看一个特殊情况，即对换的两个数在排列中是相邻情形. 排列 j k （1） 经过j, k对换变成 K j （2）,这里“”表示那些不动的数. 显然(1)与(2)中，不同的
4、只是j, k的次序； 如果(1)中 j, k 构成反序，那么(2)的反序数减少一个； 如果(1)中 j, k不构成反序，那么(2)的反序数增加一个. 无论增加1，还是减少1，排列的反序数的奇偶性总是变了.,再看一般情形. 设排列 (3) 经 j, k 对换，(3)变成 (4),不难看出，这样一个对换可以看为，k经s+1个相邻对换将（3）变为 再将j一位一位地向右移动，经过s个相邻对换变成排列（4）. 因此，j,k对换，可以通过2s+1个相邻对换实现. 而2s+1是奇数，所以，改变排列的奇偶性. 定理2在所有的n元排列中奇偶排列各为n!/2.,3 n阶行列式,二阶、三阶行列式的定义 n阶行列式的
5、定义 特殊行列式的计算,二阶行列式与三阶行列式定义：,（1）,（2）,它们都是一些乘积的代数和，每一项是位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成. 在（2）中每一项的一般形式可以写成 其中 是1，2，3的一个排列. 可以看出 是偶排列，带+号；奇排列带-号. （1）式也符合这个原则.,定义4 n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 （3） 的代数和，这里 是12n的一个排列每一项（3）都按下列规则带有符号：当 是偶排列时，（3）带正号，当 是奇排列时，带负号.,定义可写成 （4） 这里 表示对所有n级排列求和. 由定义立即看出，n级行列式是由
6、n!项组成的.,例1 计算,例2 计算上三角形行列式 为主对角线(从左上角到右下角的对角线)元素的乘积,对角形行列式,由于乘法满足交换律，所以行列式中的项可以写成 （5） 其中 是两个n 级排列。利用排列的性质可以证明（5）的符号等于 （6） 事实上 为了根据定义来决定（5）的符号，把这n个元素从新排一下，使得它们的行指标成自然排列，即排成：,（6）,于是它的符号是 （7） 下面证明（5）与（7）是一致的. 由（5）变到（6），经一系列元素对换，每作一次对换行指标与列指标的排列 与 都同时作一次对换，所以和的奇偶性不变，即,行列式又可定义为,下三角形行列式,返回,4 n阶行列式的性质,按行列式
7、的定义计算行列式，要算n!项，计算需n!(n-1)个乘法，所以按定义计算几乎是不可能的. 性质1-7 运用性质计算行列式,性质1 行列式与它的转置行列式相等,性质2 行列式某一行有公因子，可以提出去，即,推论 行列式中一行为零，值为零.,性质3,性质4 对换行列式两行位置，行列式反号,首先 和 中含有相同的项 对于 中任意一项 符号是 在 中，该项 也出现， 注意 在第 K 行， 在第 i 行，符号是 得到,性质5 如果行列式中两行相等，值为零. 证明 由性质4 性质6 如果行列式中两行成比例，值为零. 证明 由性质2，5,性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 证明,例1 计算n级行列
8、式 解,例2 一个n阶行列式，假设它的元素满足 （4） 我们来证明，当n为奇数时，此行列式为零。 证明 由（4）式得 即 因此，行列式为：(见下页) 所以，当n为奇数时，D=-D，即D=0。,返回,5 行列式按一行（列）展开拉普拉斯定理（介绍）,余子式的定义 代数余子式的定义及其性质 定理3 行列式按行(列)展开定理 拉普拉斯定理（介绍）,定义5 在行列式,中，划去元素 所在的 i 第行与第j列，剩下的 元素按原来的排法构成的一个n-1阶行列式,(1) 称为元素 的余子式，记为 .,定义 6：元素 的余子式 乘以符 号项 ，称为元素 的代数余子 式，记为,定理3 行列式按行(列)展开定理 设
9、表示元素 的代数余子式，则下列公式成 立：,(2) (3) 证明见书,定理4： 符号同定理3，同样得到,在计算行列式时，若某一行（列）有许多0元素，则可用定理3，按此行（列）展开来计算行列式。 例1 行列式,例2 Vandermonde行列式,证明 用数学归纳法。n=2时， 成立。假设n-1阶成立， 现证明n阶也成立。 在D中，第n行减去n-1行的 倍 ，n-1行减去n-2行的 倍，依次类推，得,Vandermonde行列式值为零的充分必要条件是 中，至少有两个相等。,返回,Laplace 定理,定义7 在一个n级行列式D中任意选定k行k列(kn). 位于这些行和列的交点上的 个元素按照原来的
10、次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式. 在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级行列式称为k级子式M的余子式. 记为 从定义可以看出，M也是 的余子式。,例1 在四级行列式 中选定第1、3行，第2、4列的一个二级子式 M的余子式,例2 在四级行列式 中 和 是一对互余的子式。,定义8 设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别为 ，则 称为M的代数余子式 引理 行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致。 证明：略,Laplace 定理,定理5 (Laplace)设在行列式D中任意取定了 K 个行.
11、由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.,例,1.6 Cramer法则,齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默法则,定理6 如果线性方程组 （1） 的系数行列式,那么线性方程组（1）有解，并且解唯一，解可以通过系数表为 （2）,其中 j=1,2,n。,1、方程组有解； 2、解是唯一的； 3、解由公式（2）给出,定理中包含三个结论,证明 1、把方程（1）简写成 （3）,首先证明（2）的确是（1）的解. 把（2）代 入第 i 个方程左端为 因为 所以,所以公式（2）确为方程（1）的解。,2、设 是方程（1）的另一个解，于是有 （4） 为了证明 我们将A中第k列元
12、素的代数余子式 ，乘（4）中n个恒等式，有,把它们加起来，即得 （5） 等式右端为 按第k列展开结果。（5）式左端， 上式用了定理3,于是（8）即为 也就是 这就说明方程组最多有一组解。 1、2说明方程组仅有一组解，即公式（2）. 例 解方程组,解 系数行列式 所以方程组有唯一解 Cramer法则只对系数行列式不为零的情况成立，行列式为零的情况将在下一章中介绍 常数项为零的方程组称为齐次线性方程组,定理7 如果齐次线性方程组 （6） 的系数行列式D0，那么它只有零解，换句话说，如果方程组（6）有非零解，那么必有D=0. 由Cramer法则容易证明.,例 求 在什么条件下，方程组 有非零解。 解 系数行列式为 所以，当 时，方程组有非零解。 Cramer法则理论价值高，实际计算量很大，一般不用此法计算线性方程组。,返回,
